Номер 72, страница 18 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Линейное уравнение с одной переменной. §2. Линейное уравнение с одной переменной - номер 72, страница 18.

Условие.

72. При каких значениях b корень уравнения меньше, чем b:

1) $3x = b$;

2) $x = 2b$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Сначала найдем корень уравнения $3x = b$. Для этого выразим переменную $x$:
$x = \frac{b}{3}$
По условию задачи, корень уравнения должен быть меньше, чем $b$. Составим и решим соответствующее неравенство:
$x < b$
$\frac{b}{3} < b$
Перенесем все члены неравенства в левую часть:
$\frac{b}{3} - b < 0$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{b - 3b}{3} < 0$
$\frac{-2b}{3} < 0$
Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный:
$\frac{2b}{3} > 0$
Умножим обе части на 3:
$2b > 0$
Разделим обе части на 2:
$b > 0$
Следовательно, корень уравнения $3x = b$ меньше, чем $b$, при всех значениях $b > 0$.
Ответ: при $b > 0$.

2) В уравнении $x = 2b^2$ корень уже выражен. Нам нужно найти значения $b$, при которых этот корень будет меньше $b$. Составим неравенство:
$x < b$
$2b^2 < b$
Перенесем $b$ в левую часть, чтобы получить квадратичное неравенство:
$2b^2 - b < 0$
Вынесем общий множитель $b$ за скобки:
$b(2b - 1) < 0$
Для решения этого неравенства используем метод интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $b(2b - 1) = 0$.
$b_1 = 0$
$2b - 1 = 0 \implies 2b = 1 \implies b_2 = \frac{1}{2}$
Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; \frac{1}{2})$ и $(\frac{1}{2}; +\infty)$.
Выражение $b(2b - 1)$ является квадратичной функцией, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $b^2$ положителен). Значения функции будут отрицательными между ее корнями.
Таким образом, неравенство $b(2b - 1) < 0$ выполняется в интервале между $0$ и $\frac{1}{2}$.
$0 < b < \frac{1}{2}$
Ответ: при $0 < b < \frac{1}{2}$.