Номер 74, страница 19 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Линейное уравнение с одной переменной. §2. Линейное уравнение с одной переменной - номер 74, страница 19.

Условие.

74. Один работник может выполнить задание за 45 ч, а другому для этого надо в $1 \frac{1}{2}$ раза меньше времени, чем первому. За сколько часов они выполнят это задание, работая вместе? Какую часть задания при этом выполнит каждый из них?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для решения задачи сначала найдем время, необходимое второму работнику для выполнения задания, а затем их производительность (часть работы, выполняемая за час).

1. Время первого работника $T_1 = 45$ ч.

Время второго работника $T_2$ в $1 \frac{1}{2}$ раза меньше, чем у первого. Найдем его:

$T_2 = 45 \div 1 \frac{1}{2} = 45 \div \frac{3}{2} = 45 \cdot \frac{2}{3} = \frac{90}{3} = 30$ ч.

2. Производительность — это работа, деленная на время. Примем всю работу за 1.

Производительность первого работника: $P_1 = \frac{1}{T_1} = \frac{1}{45}$ (часть задания в час).

Производительность второго работника: $P_2 = \frac{1}{T_2} = \frac{1}{30}$ (часть задания в час).

За сколько часов они выполнят это задание, работая вместе?

Чтобы найти время совместной работы, сначала найдем их общую производительность, сложив производительности каждого работника:

$P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{1}{45} + \frac{1}{30}$

Приведем дроби к общему знаменателю (наименьшее общее кратное для 45 и 30 — это 90):

$P_{общ} = \frac{2}{90} + \frac{3}{90} = \frac{5}{90} = \frac{1}{18}$ (часть задания в час).

Теперь найдем общее время $T_{общ}$, разделив всю работу (1) на общую производительность:

$T_{общ} = \frac{1}{P_{общ}} = 1 \div \frac{1}{18} = 1 \cdot 18 = 18$ часов.

Ответ: Работая вместе, они выполнят задание за 18 часов.

Какую часть задания при этом выполнит каждый из них?

Чтобы найти, какую часть задания выполнит каждый работник за 18 часов, нужно умножить производительность каждого на время совместной работы.

Часть задания, выполненная первым работником:

$W_1 = P_1 \cdot T_{общ} = \frac{1}{45} \cdot 18 = \frac{18}{45}$

Сократим дробь на 9:

$W_1 = \frac{18 \div 9}{45 \div 9} = \frac{2}{5}$

Часть задания, выполненная вторым работником:

$W_2 = P_2 \cdot T_{общ} = \frac{1}{30} \cdot 18 = \frac{18}{30}$

Сократим дробь на 6:

$W_2 = \frac{18 \div 6}{30 \div 6} = \frac{3}{5}$

Ответ: Первый работник выполнит $\frac{2}{5}$ задания, а второй работник выполнит $\frac{3}{5}$ задания.