Номер 68, страница 18 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Линейное уравнение с одной переменной. §2. Линейное уравнение с одной переменной - номер 68, страница 18.

Условие.

68. Решите уравнение:

1) $|x| + 3x = 12;$

2) $|x| - 4x = 9;$

3) $2(x - 5) - 6|x| = -18.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Для решения уравнения $|x| + 3x = 12$ необходимо рассмотреть два случая, исходя из определения модуля числа.

Случай 1: $x \ge 0$
В этом случае $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$x + 3x = 12$
$4x = 12$
$x = \frac{12}{4}$
$x = 3$
Корень $x = 3$ удовлетворяет условию $x \ge 0$, следовательно, является решением уравнения.

Случай 2: $x < 0$
В этом случае $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$-x + 3x = 12$
$2x = 12$
$x = \frac{12}{2}$
$x = 6$
Корень $x = 6$ не удовлетворяет условию $x < 0$, следовательно, не является решением уравнения (является посторонним корнем).

Таким образом, у уравнения есть только один корень.

Ответ: $3$

---

2) Для решения уравнения $|x| - 4x = 9$ также рассмотрим два случая.

Случай 1: $x \ge 0$
В этом случае $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$x - 4x = 9$
$-3x = 9$
$x = \frac{9}{-3}$
$x = -3$
Корень $x = -3$ не удовлетворяет условию $x \ge 0$, следовательно, не является решением уравнения.

Случай 2: $x < 0$
В этом случае $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$-x - 4x = 9$
$-5x = 9$
$x = -\frac{9}{5}$
Корень $x = -9/5$ удовлетворяет условию $x < 0$, следовательно, является решением уравнения.

Таким образом, у уравнения есть только один корень.

Ответ: $-9/5$

---

3) Для решения уравнения $2(x - 5) - 6|x| = -18$ сначала упростим его.

$2x - 10 - 6|x| = -18$
$2x - 6|x| = -18 + 10$
$2x - 6|x| = -8$
Разделим обе части уравнения на 2:
$x - 3|x| = -4$

Теперь рассмотрим два случая.

Случай 1: $x \ge 0$
В этом случае $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$x - 3x = -4$
$-2x = -4$
$x = \frac{-4}{-2}$
$x = 2$
Корень $x = 2$ удовлетворяет условию $x \ge 0$, следовательно, является решением.

Случай 2: $x < 0$
В этом случае $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$x - 3(-x) = -4$
$x + 3x = -4$
$4x = -4$
$x = \frac{-4}{4}$
$x = -1$
Корень $x = -1$ удовлетворяет условию $x < 0$, следовательно, является решением.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $-1; 2$