Номер 67, страница 18 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Линейное уравнение с одной переменной. §2. Линейное уравнение с одной переменной - номер 67, страница 18.

Условие.

67. В равенстве $2(1.5x - 0.5) = 7x + *$ замените звёздочку таким выражением, чтобы получившееся уравнение:

1) не имело корней;

2) имело бесконечно много корней;

3) имело один корень.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Сначала преобразуем левую часть равенства:

$2(1,5x - 0,5) = 2 \cdot 1,5x - 2 \cdot 0,5 = 3x - 1$

Теперь исходное уравнение выглядит так:

$3x - 1 = 7x + *$

Обозначим выражение, которое нужно подставить вместо звёздочки, как $A$. Тогда уравнение примет вид $3x - 1 = 7x + A$.

Это линейное уравнение. Его вид и количество корней зависят от выражения $A$. Приведём уравнение к стандартному виду $ax=b$. Для этого сгруппируем слагаемые с $x$ в одной части, а остальные — в другой.

$3x - 7x - A = 1$

$-4x - A = 1$

Чтобы проанализировать уравнение, представим $A$ в виде линейного выражения $kx + c$. Тогда:

$-4x - (kx + c) = 1$

$-4x - kx = 1 + c$

$(-4 - k)x = 1 + c$

Теперь рассмотрим каждый случай.

1) не имело корней;

Линейное уравнение вида $ax=b$ не имеет корней, если коэффициент при $x$ равен нулю ($a=0$), а правая часть не равна нулю ($b \neq 0$).

В нашем случае $(-4 - k)x = 1 + c$ это означает:

1. $-4 - k = 0 \implies k = -4$

2. $1 + c \neq 0 \implies c \neq -1$

Таким образом, вместо звёздочки можно подставить любое выражение вида $-4x + c$, где $c$ — любое число, кроме -1. Например, выберем $c=0$, тогда искомое выражение — это $-4x$.

Проверим: $2(1,5x - 0,5) = 7x - 4x \implies 3x - 1 = 3x \implies -1 = 0$. Равенство неверное, корней нет.

Ответ: $-4x$.

2) имело бесконечно много корней;

Линейное уравнение вида $ax=b$ имеет бесконечно много корней, если и коэффициент при $x$, и правая часть равны нулю ($a=0$ и $b=0$).

Для уравнения $(-4 - k)x = 1 + c$ это означает:

1. $-4 - k = 0 \implies k = -4$

2. $1 + c = 0 \implies c = -1$

Значит, выражение, которое нужно подставить вместо звёздочки, однозначно определяется: $A = kx + c = -4x - 1$.

Проверим: $2(1,5x - 0,5) = 7x + (-4x - 1) \implies 3x - 1 = 3x - 1 \implies 0 = 0$. Равенство верно для любого $x$, следовательно, корней бесконечно много.

Ответ: $-4x - 1$.

3) имело один корень.

Линейное уравнение вида $ax=b$ имеет один корень, если коэффициент при $x$ не равен нулю ($a \neq 0$).

Для уравнения $(-4 - k)x = 1 + c$ это означает:

$-4 - k \neq 0 \implies k \neq -4$

При этом значение $c$ может быть любым. Мы можем выбрать любое выражение $kx+c$, для которого $k \neq -4$. Самый простой вариант — выбрать выражение, которое не содержит $x$, то есть является числом. В этом случае $k=0$, что удовлетворяет условию $k \neq -4$. Возьмем, к примеру, число 5.

Проверим: $2(1,5x - 0,5) = 7x + 5 \implies 3x - 1 = 7x + 5 \implies -4x = 6 \implies x = -1,5$. Уравнение имеет один корень.

Ответ: 5 (или любое другое число, или любое выражение $kx+c$ при $k \neq -4$).