Номер 58, страница 17 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Линейное уравнение с одной переменной. §2. Линейное уравнение с одной переменной - номер 58, страница 17.

Условие.

58. Найдите все целые значения $n$, при которых корень уравнения:

1) $nx = -5$;

2) $(n - 6)x = 25$

является натуральным числом.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1)

По условию, $n$ — целое число, а корень уравнения $x$ — натуральное число. Натуральные числа — это целые положительные числа, то есть $x \in \{1, 2, 3, ...\}$.

Рассмотрим уравнение $nx = -5$.

Чтобы выразить $x$, коэффициент $n$ не должен быть равен нулю. Если $n=0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = -5$, что является неверным равенством и не имеет решений.

При $n \neq 0$, корень уравнения равен $x = \frac{-5}{n}$.

Для того чтобы $x$ был натуральным числом, должны выполняться два условия:

1. $x$ должен быть целым числом. Это означает, что $n$ должен быть целым делителем числа -5. Целыми делителями числа -5 являются: $1, -1, 5, -5$.
2. $x$ должен быть положительным числом, то есть $x > 0$. Так как $x = \frac{-5}{n}$, то $\frac{-5}{n} > 0$. Дробь положительна, если числитель и знаменатель имеют одинаковый знак. Поскольку числитель (-5) отрицателен, знаменатель $n$ также должен быть отрицателен: $n < 0$.

Теперь объединим оба условия: нам нужно выбрать из множества делителей $\{1, -1, 5, -5\}$ только отрицательные значения. Такими значениями являются $n = -1$ и $n = -5$.

Проверим найденные значения:

• При $n = -1$: $x = \frac{-5}{-1} = 5$. Число 5 — натуральное.
• При $n = -5$: $x = \frac{-5}{-5} = 1$. Число 1 — натуральное.

Ответ: -5; -1.

2)

Рассмотрим уравнение $(n - 6)x = 25$.

По условию, $n$ — целое число, а $x$ — натуральное.

Чтобы выразить $x$, коэффициент при нем, $(n - 6)$, не должен быть равен нулю, то есть $n - 6 \neq 0$, откуда $n \neq 6$. Если $n=6$, уравнение примет вид $0 \cdot x = 25$, что не имеет решений.

При $n \neq 6$, корень уравнения равен $x = \frac{25}{n - 6}$.

Для того чтобы $x$ был натуральным числом, должны выполняться два условия:

1. $x$ должен быть целым числом. Это означает, что выражение $(n - 6)$ должно быть целым делителем числа 25. Целыми делителями числа 25 являются: $1, -1, 5, -5, 25, -25$.
2. $x$ должен быть положительным числом, то есть $x > 0$. Так как $x = \frac{25}{n-6}$, то $\frac{25}{n-6} > 0$. Поскольку числитель (25) положителен, знаменатель $(n - 6)$ также должен быть положителен: $n - 6 > 0$, или $n > 6$.

Объединим условия: выражение $(n - 6)$ должно быть положительным делителем числа 25. Положительные делители 25 — это $1, 5, 25$.

Рассмотрим все возможные случаи для $(n-6)$:

• Если $n - 6 = 1$, то $n = 7$. Тогда $x = \frac{25}{1} = 25$, что является натуральным числом.
• Если $n - 6 = 5$, то $n = 11$. Тогда $x = \frac{25}{5} = 5$, что является натуральным числом.
• Если $n - 6 = 25$, то $n = 31$. Тогда $x = \frac{25}{25} = 1$, что является натуральным числом.

Все найденные значения $n$ (7, 11, 31) являются целыми и удовлетворяют условию $n > 6$.

Ответ: 7; 11; 31.