Номер 831, страница 160 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Функции. §22. График функции - номер 831, страница 160.

Условие.

831. Графиком некоторой функции является ломаная MKE, где $M (-4; 1)$, $K (2; 4)$, $E (5; -2)$.

1) Постройте график данной функции.

2) Найдите значение функции, если значение аргумента равно: $-2$; $0$; $3$.

3) Найдите значение $x$, при котором $y = -2$; $0$; $2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Постройте график данной функции.

Чтобы построить график функции, который представляет собой ломаную MKE, нужно:

1. Начертить систему координат.
2. Отметить на ней точки с заданными координатами: $M(-4; 1)$, $K(2; 4)$ и $E(5; -2)$.
3. Соединить точку M с точкой K отрезком прямой.
4. Соединить точку K с точкой E отрезком прямой.

Получившаяся ломаная линия, состоящая из отрезков MK и KE, является графиком данной функции. Область определения этой функции — все значения $x$ от -4 до 5, то есть $x \in [-4; 5]$.

Ответ: График представляет собой ломаную линию, последовательно соединяющую точки $M(-4; 1)$, $K(2; 4)$ и $E(5; -2)$.

2) Найдите значение функции, если значение аргумента равно: -2; 0; 3.

Для нахождения значений функции (y) при заданных значениях аргумента (x) найдем уравнения прямых, на которых лежат отрезки ломаной MK и KE.

Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, задается формулой: $\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$.

Для отрезка MK с точками $M(-4; 1)$ и $K(2; 4)$ (при $x \in [-4; 2]$):

$\frac{y - 1}{4 - 1} = \frac{x - (-4)}{2 - (-4)}$

$\frac{y - 1}{3} = \frac{x + 4}{6}$

$y - 1 = \frac{3}{6}(x + 4) \implies y - 1 = 0.5(x + 4) \implies y = 0.5x + 2 + 1 \implies y = 0.5x + 3$

Для отрезка KE с точками $K(2; 4)$ и $E(5; -2)$ (при $x \in [2; 5]$):

$\frac{y - 4}{-2 - 4} = \frac{x - 2}{5 - 2}$

$\frac{y - 4}{-6} = \frac{x - 2}{3}$

$y - 4 = -2(x - 2) \implies y = -2x + 4 + 4 \implies y = -2x + 8$

Теперь найдем значения функции для заданных аргументов:

• При $x = -2$: это значение принадлежит отрезку $[-4; 2]$, поэтому используем первую формулу: $y = 0.5 \cdot (-2) + 3 = -1 + 3 = 2$.
• При $x = 0$: это значение принадлежит отрезку $[-4; 2]$, используем первую формулу: $y = 0.5 \cdot 0 + 3 = 3$.
• При $x = 3$: это значение принадлежит отрезку $[2; 5]$, используем вторую формулу: $y = -2 \cdot 3 + 8 = -6 + 8 = 2$.

Ответ: Если $x=-2$, то $y=2$; если $x=0$, то $y=3$; если $x=3$, то $y=2$.

3) Найдите значение x, при котором y = -2; 0; 2.

Используем полученные уравнения для каждого отрезка, чтобы найти $x$ при заданных значениях $y$.

• При $y = -2$:
  Для отрезка MK ($x \in [-4; 2]$) значения $y$ лежат в диапазоне $[1; 4]$. Так как $-2$ не входит в этот диапазон, на этом отрезке решений нет.
  Для отрезка KE ($x \in [2; 5]$) подставим $y=-2$ в уравнение $y = -2x + 8$:
  $-2 = -2x + 8 \implies 2x = 10 \implies x = 5$.
  Значение $x=5$ принадлежит отрезку $[2; 5]$.
• При $y = 0$:
  На отрезке MK (диапазон $y$ от 1 до 4) решений нет.
  Для отрезка KE подставим $y=0$ в уравнение $y = -2x + 8$:
  $0 = -2x + 8 \implies 2x = 8 \implies x = 4$.
  Значение $x=4$ принадлежит отрезку $[2; 5]$.
• При $y = 2$:
  Для отрезка MK подставим $y=2$ в уравнение $y = 0.5x + 3$:
  $2 = 0.5x + 3 \implies -1 = 0.5x \implies x = -2$.
  Значение $x=-2$ принадлежит отрезку $[-4; 2]$.
  Для отрезка KE подставим $y=2$ в уравнение $y = -2x + 8$:
  $2 = -2x + 8 \implies 2x = 6 \implies x = 3$.
  Значение $x=3$ принадлежит отрезку $[2; 5]$.
  Следовательно, $y=2$ при двух значениях аргумента: $x=-2$ и $x=3$.

Ответ: $y = -2$ при $x=5$; $y = 0$ при $x=4$; $y = 2$ при $x=-2$ и $x=3$.