Номер 832, страница 160 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Функции. §22. График функции - номер 832, страница 160.

Условие.

832. Функция задана формулой $y = x^2 - 1$, где $-2 \le x \le 3$.

1) Составьте таблицу значений функции с шагом 1.

2) Постройте график функции, пользуясь составленной таблицей.

3) Пользуясь графиком, найдите, при каких значениях аргумента значения функции меньше нуля и при каких – больше нуля.

4) Пользуясь графиком функции, укажите область значений функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Составьте таблицу значений функции с шагом 1.

Для функции $y = x^2 - 1$ на отрезке $[-2, 3]$ составим таблицу значений с шагом 1. Для этого вычислим значения $y$ для каждого целого значения $x$ от -2 до 3.

• При $x = -2$: $y = (-2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3$
• При $x = -1$: $y = (-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0$
• При $x = 0$: $y = (0)^2 - 1 = 0 - 1 = -1$
• При $x = 1$: $y = (1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0$
• При $x = 2$: $y = (2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3$
• При $x = 3$: $y = (3)^2 - 1 = 9 - 1 = 8$

Результаты сведем в таблицу:

x	-2	-1	0	1	2	3
y	3	0	-1	0	3	8

Ответ: Таблица значений составлена выше.

2) Постройте график функции, пользуясь составленной таблицей.

Для построения графика отметим на координатной плоскости точки, координаты которых мы нашли в таблице: $(-2, 3)$, $(-1, 0)$, $(0, -1)$, $(1, 0)$, $(2, 3)$ и $(3, 8)$. Затем соединим эти точки плавной линией, учитывая, что график функции $y = x^2 - 1$ является параболой. Так как функция задана на отрезке $[-2, 3]$, график будет представлять собой часть параболы, ограниченную точками с абсциссами -2 и 3.

Ответ: График функции построен выше.

3) Пользуясь графиком, найдите, при каких значениях аргумента значения функции меньше нуля и при каких – больше нуля.

Анализируя график, определяем промежутки знакопостоянства функции.

Значения функции меньше нуля ($y < 0$) там, где график расположен ниже оси абсцисс (оси Ox). Это происходит на интервале между точками пересечения с осью $x=-1$ и $x=1$.
Следовательно, $y < 0$ при $x \in (-1, 1)$.

Значения функции больше нуля ($y > 0$) там, где график расположен выше оси абсцисс. С учетом области определения функции $[-2, 3]$, это происходит на двух промежутках: от левой границы области определения до первого корня и от второго корня до правой границы.
Следовательно, $y > 0$ при $x \in [-2, -1) \cup (1, 3]$.

Ответ: $y < 0$ при $-1 < x < 1$; $y > 0$ при $-2 \le x < -1$ и $1 < x \le 3$.

4) Пользуясь графиком функции, укажите область значений функции.

Область значений функции – это множество всех значений, которые принимает $y$. На графике это соответствует проекции кривой на ось ординат (ось Oy).
Из графика видно, что наименьшее значение функция достигает в своей вершине, которая находится в точке $(0, -1)$. Минимальное значение $y_{min} = -1$.
Наибольшее значение на заданном отрезке $[-2, 3]$ достигается на одном из его концов. Сравним значения функции на концах отрезка: $y(-2) = 3$ и $y(3) = 8$. Наибольшее значение $y_{max} = 8$.
Таким образом, область значений функции – это все числа от -1 до 8 включительно.

Ответ: Область значений функции: $[-1, 8]$.