Номер 839, страница 161 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Функции. §22. График функции - номер 839, страница 161.

Условие.

839. Постройте график функции, областью определения которой являются все натуральные числа и которая принимает значение $1$ при чётных значениях аргумента и значение $-1$ при нечётных значениях аргумента.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Согласно условию, дана функция $y = f(x)$, область определения которой — множество натуральных чисел ($x \in N$). Это означает, что аргумент $x$ может принимать значения $1, 2, 3, 4, \dots$. График такой функции будет состоять из отдельных, изолированных точек, а не из сплошной линии.

Правила для нахождения значений функции следующие:

• Если аргумент $x$ — чётное число (например, 2, 4, 6, ...), то значение функции $y = 1$.
• Если аргумент $x$ — нечётное число (например, 1, 3, 5, ...), то значение функции $y = -1$.

Эту зависимость можно описать аналитически с помощью формулы $y = (-1)^x$. Действительно, при возведении -1 в чётную степень получается 1, а в нечётную — -1.

Вычислим координаты нескольких первых точек графика, чтобы его построить:

• При $x=1$ (нечётное), $y = (-1)^1 = -1$. Получаем точку $(1, -1)$.
• При $x=2$ (чётное), $y = (-1)^2 = 1$. Получаем точку $(2, 1)$.
• При $x=3$ (нечётное), $y = (-1)^3 = -1$. Получаем точку $(3, -1)$.
• При $x=4$ (чётное), $y = (-1)^4 = 1$. Получаем точку $(4, 1)$.
• При $x=5$ (нечётное), $y = (-1)^5 = -1$. Получаем точку $(5, -1)$.

Продолжая таким образом, мы видим, что все точки графика лежат на двух горизонтальных прямых: $y=1$ и $y=-1$.

• На прямой $y=1$ расположены точки с чётными абсциссами: $(2, 1), (4, 1), (6, 1), \dots$
• На прямой $y=-1$ расположены точки с нечётными абсциссами: $(1, -1), (3, -1), (5, -1), \dots$

Для построения графика необходимо в системе координат отметить эти точки.

Ответ: График функции — это бесконечный набор изолированных точек. Точки с нечётными натуральными абсциссами $(1, 3, 5, \dots)$ лежат на прямой $y=-1$ и имеют координаты $(1, -1), (3, -1), (5, -1), \dots$. Точки с чётными натуральными абсциссами $(2, 4, 6, \dots)$ лежат на прямой $y=1$ и имеют координаты $(2, 1), (4, 1), (6, 1), \dots$.