Номер 843, страница 161 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Функции. §22. График функции - номер 843, страница 161.

Условие.

843. Докажите, что при любом нечётном значении $n$ значение выражения $(4n + 1)^2 - (n + 4)^2$ кратно 120.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для того чтобы доказать, что значение выражения $(4n + 1)^2 - (n + 4)^2$ кратно 120 при любом нечётном $n$, преобразуем данное выражение. Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

$(4n + 1)^2 - (n + 4)^2 = ((4n + 1) - (n + 4))((4n + 1) + (n + 4))$

Упростим выражения в каждой из скобок:

$(4n + 1 - n - 4)(4n + 1 + n + 4) = (3n - 3)(5n + 5)$

Вынесем общие множители из каждой скобки:

$3(n - 1) \cdot 5(n + 1) = 15(n - 1)(n + 1)$

По условию, $n$ — нечётное число. Любое нечётное число можно представить в виде $n = 2k + 1$, где $k$ — некоторое целое число. Подставим это представление в полученное выражение:

$15((2k + 1) - 1)((2k + 1) + 1) = 15(2k)(2k + 2)$

Вынесем множитель 2 из второй скобки:

$15 \cdot 2k \cdot 2(k + 1) = 15 \cdot 4 \cdot k(k + 1) = 60k(k + 1)$

Теперь нам нужно доказать, что выражение $60k(k + 1)$ кратно 120. Для этого необходимо показать, что $k(k + 1)$ всегда является чётным числом, то есть делится на 2.

Выражение $k(k + 1)$ — это произведение двух последовательных целых чисел. Среди двух последовательных целых чисел одно всегда будет чётным.

• Если $k$ — чётное, то и произведение $k(k + 1)$ чётное.
• Если $k$ — нечётное, то $k + 1$ — чётное, и произведение $k(k + 1)$ также будет чётным.

Таким образом, $k(k + 1)$ всегда делится на 2. Пусть $k(k + 1) = 2m$, где $m$ — целое число.

Тогда наше выражение принимает вид:

$60k(k + 1) = 60 \cdot 2m = 120m$

Так как $m$ является целым числом, то произведение $120m$ всегда кратно 120.

Следовательно, мы доказали, что при любом нечётном значении $n$ значение выражения $(4n + 1)^2 - (n + 4)^2$ кратно 120.

Ответ: Утверждение доказано.