Номер 842, страница 161 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Функции. §22. График функции - номер 842, страница 161.

Условие.

842. Докажите тождество:

1) $ (4a^2+3)^2+(7-4a^2)^2-2(4a^2+3)(4a^2-7)=100; $

2) $ (a^2-6ab+9b^2)(a^2+6ab+9b^2)-(a^2-9b^2)^2=0. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Для доказательства тождества $(4a^2 + 3)^2 + (7 - 4a^2)^2 - 2(4a^2 + 3)(4a^2 - 7) = 100$ преобразуем его левую часть.

Заметим, что $4a^2 - 7 = -(7 - 4a^2)$. Подставим это в выражение:

$(4a^2 + 3)^2 + (7 - 4a^2)^2 - 2(4a^2 + 3)(-(7 - 4a^2))$

Раскроем скобки в последнем слагаемом:

$(4a^2 + 3)^2 + (7 - 4a^2)^2 + 2(4a^2 + 3)(7 - 4a^2)$

Полученное выражение представляет собой развернутую формулу квадрата суммы: $x^2 + y^2 + 2xy = (x+y)^2$, где $x = 4a^2 + 3$ и $y = 7 - 4a^2$.

Свернем левую часть по этой формуле:

$((4a^2 + 3) + (7 - 4a^2))^2$

Упростим выражение внутри скобок:

$(4a^2 + 3 + 7 - 4a^2)^2 = (10)^2 = 100$

Левая часть равна $100$, что соответствует правой части. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $(a^2 - 6ab + 9b^2)(a^2 + 6ab + 9b^2) - (a^2 - 9b^2)^2 = 0$ преобразуем его левую часть.

Заметим, что первые два множителя являются формулами квадрата разности и квадрата суммы соответственно:

$a^2 - 6ab + 9b^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot (3b) + (3b)^2 = (a - 3b)^2$

$a^2 + 6ab + 9b^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot (3b) + (3b)^2 = (a + 3b)^2$

Подставим эти выражения в левую часть тождества:

$(a - 3b)^2 (a + 3b)^2 - (a^2 - 9b^2)^2$

Используем свойство степеней $x^n y^n = (xy)^n$ для первого члена:

$((a - 3b)(a + 3b))^2 - (a^2 - 9b^2)^2$

Выражение в первых скобках является формулой разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$:

$(a - 3b)(a + 3b) = a^2 - (3b)^2 = a^2 - 9b^2$

Подставим результат в преобразованное выражение:

$(a^2 - 9b^2)^2 - (a^2 - 9b^2)^2 = 0$

Левая часть равна $0$, что соответствует правой части. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.