Номер 848, страница 162 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Функции. §22. График функции - номер 848, страница 162.

Условие.

848. Из квадратного листа бумаги в клетку, содержащего целое количество клеток, вырезали по линиям квадрат, содержащий целое количество клеток, так, что осталась 71 клетка. Сколько клеток содержал исходный лист бумаги?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть сторона исходного квадратного листа бумаги равна $N$ клеток, а сторона вырезанного квадрата — $n$ клеток. Поскольку и лист, и вырезанная часть являются квадратами с целым количеством клеток, то $N$ и $n$ — целые положительные числа, причем $N > n$.

Площадь исходного листа составляет $N^2$ клеток, а площадь вырезанного квадрата — $n^2$ клеток. По условию задачи, после того как вырезали квадрат, осталась 71 клетка. Это означает, что разность площадей исходного и вырезанного квадратов равна 71.

Составим уравнение:

$N^2 - n^2 = 71$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ для левой части уравнения:

$(N - n)(N + n) = 71$

Так как $N$ и $n$ — целые числа, то выражения $(N - n)$ и $(N + n)$ также являются целыми числами. Мы ищем два целых множителя, произведение которых равно 71.

Число 71 является простым, поэтому оно имеет только два натуральных делителя: 1 и 71.

Поскольку $N$ и $n$ — положительные целые числа и $N > n$, то $(N + n)$ — положительное целое число, и $(N - n)$ — также положительное целое число. Кроме того, $(N + n) > (N - n)$.

Следовательно, у нас есть единственно возможный вариант для множителей:

$N - n = 1$

$N + n = 71$

Мы получили систему из двух линейных уравнений. Решим ее, сложив первое и второе уравнения:

$(N - n) + (N + n) = 1 + 71$

$2N = 72$

$N = 36$

Теперь найдем $n$, подставив значение $N$ в первое уравнение системы:

$36 - n = 1$

$n = 35$

Таким образом, сторона исходного квадратного листа была 36 клеток, а сторона вырезанного квадрата — 35 клеток.

В задаче спрашивается, сколько клеток содержал исходный лист бумаги. Для этого нужно найти его площадь, то есть $N^2$.

$N^2 = 36^2 = 1296$

Ответ: 1296.