Номер 844, страница 161 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Функции. §22. График функции - номер 844, страница 161.

Условие.

844. Найдите какие-нибудь три натуральных значения переменной $x$ таких, чтобы выражение $a^2 - 2x$ можно было разложить на множители по формуле разности квадратов. Полученные выражения разложите на множители.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для того чтобы выражение $a^2 - 2x$ можно было разложить на множители по формуле разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, необходимо, чтобы второе слагаемое, $2x$, было полным квадратом.

Пусть $2x = k^2$ для некоторого числа $k$.

Поскольку $x$ по условию является натуральным числом, то $2x$ должно быть таким полным квадратом, который делится на 2. Это означает, что $k^2$ — чётное число. Если квадрат числа чётный, то и само число чётное. Следовательно, $k$ можно представить в виде $k = 2n$, где $n$ — натуральное число.

Подставим это в наше равенство:

$2x = (2n)^2$

$2x = 4n^2$

$x = 2n^2$

Теперь мы можем найти три подходящих натуральных значения $x$, выбирая разные натуральные значения для $n$.

1. Примем n = 1

Найдём значение $x$: $x = 2 \cdot 1^2 = 2$.

Подставим $x=2$ в исходное выражение: $a^2 - 2 \cdot 2 = a^2 - 4$.

Разложим полученное выражение на множители по формуле разности квадратов:

$a^2 - 4 = a^2 - 2^2 = (a - 2)(a + 2)$.

Ответ: при $x=2$ выражение равно $(a - 2)(a + 2)$.

2. Примем n = 2

Найдём значение $x$: $x = 2 \cdot 2^2 = 2 \cdot 4 = 8$.

Подставим $x=8$ в исходное выражение: $a^2 - 2 \cdot 8 = a^2 - 16$.

Разложим полученное выражение на множители:

$a^2 - 16 = a^2 - 4^2 = (a - 4)(a + 4)$.

Ответ: при $x=8$ выражение равно $(a - 4)(a + 4)$.

3. Примем n = 3

Найдём значение $x$: $x = 2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18$.

Подставим $x=18$ в исходное выражение: $a^2 - 2 \cdot 18 = a^2 - 36$.

Разложим полученное выражение на множители:

$a^2 - 36 = a^2 - 6^2 = (a - 6)(a + 6)$.

Ответ: при $x=18$ выражение равно $(a - 6)(a + 6)$.