Номер 833, страница 160 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Функции. §22. График функции - номер 833, страница 160.

Условие.

833. Функция задана формулой $y = 4 - x^2$, где $-3 \le x \le 2$.

1) Составьте таблицу значений функции с шагом 1.

2) Постройте график функции, пользуясь составленной таблицей.

3) Пользуясь графиком, найдите, при каких значениях аргумента значения функции меньше нуля и при каких – больше нуля.

4) Пользуясь графиком функции, укажите область значений функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Составьте таблицу значений функции с шагом 1.

Дана функция $y = 4 - x^2$ на отрезке $[-3; 2]$. Для составления таблицы вычислим значения функции для каждого целого значения $x$ от -3 до 2.

• При $x = -3$: $y = 4 - (-3)^2 = 4 - 9 = -5$
• При $x = -2$: $y = 4 - (-2)^2 = 4 - 4 = 0$
• При $x = -1$: $y = 4 - (-1)^2 = 4 - 1 = 3$
• При $x = 0$: $y = 4 - 0^2 = 4 - 0 = 4$
• При $x = 1$: $y = 4 - 1^2 = 4 - 1 = 3$
• При $x = 2$: $y = 4 - 2^2 = 4 - 4 = 0$

Сведем полученные результаты в таблицу:

$x$	-3	-2	-1	0	1	2
$y$	-5	0	3	4	3	0

Ответ: Таблица значений составлена.

2) Постройте график функции, пользуясь составленной таблицей.

Для построения графика нанесем на координатную плоскость точки, найденные в таблице: $(-3; -5)$, $(-2; 0)$, $(-1; 3)$, $(0; 4)$, $(1; 3)$, $(2; 0)$. После этого соединим точки плавной линией. Учитывая, что функция $y = 4 - x^2$ является квадратичной, ее график — парабола с ветвями, направленными вниз. Вершина параболы находится в точке $(0; 4)$. Так как функция задана на отрезке $[-3; 2]$, ее график — это часть (дуга) параболы, ограниченная точками с абсциссами -3 и 2.

Ответ: График функции представляет собой дугу параболы с вершиной в точке $(0; 4)$, ограниченную точками $(-3; -5)$ и $(2; 0)$.

3) Пользуясь графиком, найдите, при каких значениях аргумента значения функции меньше нуля и при каких — больше нуля.

Проанализируем положение графика относительно оси абсцисс ($Ox$).

Значения функции меньше нуля ($y < 0$) на тех участках, где график расположен ниже оси $Ox$. Из графика видно, что это происходит на промежутке от $x = -3$ до $x = -2$. В точке $x=-3$ значение функции равно -5, а в точке $x=-2$ оно равно нулю. Следовательно, $y < 0$ при $x \in [-3; -2)$.

Значения функции больше нуля ($y > 0$) на тех участках, где график расположен выше оси $Ox$. Это происходит между точками пересечения с осью $Ox$, то есть на промежутке от $x = -2$ до $x = 2$. Следовательно, $y > 0$ при $x \in (-2; 2)$.

Ответ: Значения функции меньше нуля при $-3 \le x < -2$; значения функции больше нуля при $-2 < x < 2$.

4) Пользуясь графиком функции, укажите область значений функции.

Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать $y$ на заданной области определения. Чтобы найти ее по графику, нужно определить наименьшее и наибольшее значение функции.

Из графика видно, что самая высокая точка — это вершина параболы $(0; 4)$. Значит, максимальное значение функции равно 4.

Самая низкая точка на графике в пределах заданного отрезка $[-3; 2]$ — это точка $(-3; -5)$. Значит, минимальное значение функции равно -5.

Таким образом, функция принимает все значения от -5 до 4 включительно.

Ответ: Область значений функции: $[-5; 4]$.