Номер 829, страница 160 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Функции. §22. График функции - номер 829, страница 160.

Условие.

829. Графиком некоторой функции является ломаная $ABCD$ с вершинами в точках $A (-3; 6)$, $B (-1; 2)$, $C (3; -2)$, $D (9; 0)$.

1) Постройте график данной функции.

2) Найдите значение функции, если значение аргумента равно: -2; 0; 2; 6.

3) Найдите значение аргумента, при котором значение функции равно: 1; -1; 0.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Постройте график данной функции.

График функции представляет собой ломаную линию $ABCD$. Для построения графика необходимо отметить на координатной плоскости точки с заданными координатами $A(-3; 6)$, $B(-1; 2)$, $C(3; -2)$ и $D(9; 0)$, а затем последовательно соединить их отрезками прямых. В результате получится ломаная, состоящая из трех отрезков: $AB$, $BC$ и $CD$.

Ответ: График функции — это ломаная линия, проходящая через точки $A(-3; 6)$, $B(-1; 2)$, $C(3; -2)$ и $D(9; 0)$.

2) Найдите значение функции, если значение аргумента равно: -2; 0; 2; 6.

Для нахождения значений функции $y$ при заданных значениях аргумента $x$, найдем сначала уравнения прямых, которым принадлежат отрезки ломаной. Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, имеет вид: $\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$.

Отрезок AB, где $x \in [-3; -1]$:
Точки $A(-3; 6)$ и $B(-1; 2)$.
$\frac{y - 6}{2 - 6} = \frac{x - (-3)}{-1 - (-3)} \implies \frac{y - 6}{-4} = \frac{x + 3}{2} \implies y - 6 = -2(x + 3) \implies y = -2x$.

Отрезок BC, где $x \in [-1; 3]$:
Точки $B(-1; 2)$ и $C(3; -2)$.
$\frac{y - 2}{-2 - 2} = \frac{x - (-1)}{3 - (-1)} \implies \frac{y - 2}{-4} = \frac{x + 1}{4} \implies y - 2 = -(x + 1) \implies y = -x + 1$.

Отрезок CD, где $x \in [3; 9]$:
Точки $C(3; -2)$ и $D(9; 0)$.
$\frac{y - (-2)}{0 - (-2)} = \frac{x - 3}{9 - 3} \implies \frac{y + 2}{2} = \frac{x - 3}{6} \implies y + 2 = \frac{1}{3}(x - 3) \implies y = \frac{1}{3}x - 3$.

Теперь найдем значения функции для заданных аргументов:
- При $x = -2$: значение $x$ принадлежит отрезку $[-3; -1]$, используем формулу $y = -2x$.
$y = -2 \cdot (-2) = 4$.
- При $x = 0$: значение $x$ принадлежит отрезку $[-1; 3]$, используем формулу $y = -x + 1$.
$y = -0 + 1 = 1$.
- При $x = 2$: значение $x$ принадлежит отрезку $[-1; 3]$, используем формулу $y = -x + 1$.
$y = -2 + 1 = -1$.
- При $x = 6$: значение $x$ принадлежит отрезку $[3; 9]$, используем формулу $y = \frac{1}{3}x - 3$.
$y = \frac{1}{3} \cdot 6 - 3 = 2 - 3 = -1$.

Ответ: если $x = -2$, то $y = 4$; если $x = 0$, то $y = 1$; если $x = 2$, то $y = -1$; если $x = 6$, то $y = -1$.

3) Найдите значение аргумента, при котором значение функции равно: 1; -1; 0.

Для нахождения значений аргумента $x$ по заданным значениям функции $y$, будем использовать полученные в предыдущем пункте уравнения для каждого отрезка.

При $y=1$:
1. Отрезок $AB$, $y = -2x$ на $x \in [-3; -1]$: $1 = -2x \implies x = -0.5$. Это значение не принадлежит отрезку $[-3; -1]$.
2. Отрезок $BC$, $y = -x + 1$ на $x \in [-1; 3]$: $1 = -x + 1 \implies x = 0$. Это значение принадлежит отрезку $[-1; 3]$. Решение: $x=0$.
3. Отрезок $CD$, $y = \frac{1}{3}x - 3$ на $x \in [3; 9]$: $1 = \frac{1}{3}x - 3 \implies 4 = \frac{1}{3}x \implies x = 12$. Это значение не принадлежит отрезку $[3; 9]$.
Таким образом, при $y=1$ аргумент $x=0$.

При $y=-1$:
1. Отрезок $AB$, $y = -2x$ на $x \in [-3; -1]$: диапазон значений $y$ на этом отрезке $[2; 6]$, поэтому $y=-1$ здесь невозможно.
2. Отрезок $BC$, $y = -x + 1$ на $x \in [-1; 3]$: $-1 = -x + 1 \implies -2 = -x \implies x = 2$. Это значение принадлежит отрезку $[-1; 3]$. Решение: $x=2$.
3. Отрезок $CD$, $y = \frac{1}{3}x - 3$ на $x \in [3; 9]$: $-1 = \frac{1}{3}x - 3 \implies 2 = \frac{1}{3}x \implies x = 6$. Это значение принадлежит отрезку $[3; 9]$. Решение: $x=6$.
Таким образом, при $y=-1$ аргумент $x$ может быть равен $2$ или $6$.

При $y=0$:
1. Отрезок $AB$, $y = -2x$ на $x \in [-3; -1]$: диапазон значений $y$ на этом отрезке $[2; 6]$, поэтому $y=0$ здесь невозможно.
2. Отрезок $BC$, $y = -x + 1$ на $x \in [-1; 3]$: $0 = -x + 1 \implies x = 1$. Это значение принадлежит отрезку $[-1; 3]$. Решение: $x=1$.
3. Отрезок $CD$, $y = \frac{1}{3}x - 3$ на $x \in [3; 9]$: $0 = \frac{1}{3}x - 3 \implies 3 = \frac{1}{3}x \implies x = 9$. Это значение принадлежит отрезку $[3; 9]$. Решение: $x=9$.
Таким образом, при $y=0$ аргумент $x$ может быть равен $1$ или $9$.

Ответ: при $y = 1$ значение $x = 0$; при $y = -1$ значения $x = 2$ и $x = 6$; при $y = 0$ значения $x = 1$ и $x = 9$.