Номер 823, страница 158 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Функции. §22. График функции - номер 823, страница 158.

Условие.

823. На рисунке 25 изображён график функции $y = f(x)$. Пользуясь графиком, найдите:

1) $f(-4)$, $f(-2.5)$, $f(0.5)$, $f(2)$;

2) значения $x$, при которых $f(x) = 2.5$, $f(x) = 1$, $f(x) = 0$;

3) область определения и область значений функции;

4) значения аргумента, при которых значения функции положительные;

Рис. 24

Рис. 25

5) значения аргумента, при которых значения функции отрицательные.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) найти $f(-4)$, $f(-2,5)$, $f(0,5)$, $f(2)$

Для нахождения значения функции по заданному значению аргумента $x$, необходимо найти на оси абсцисс (горизонтальная ось $Ox$) это значение $x$, затем найти соответствующую ему точку на графике и определить её ординату (координату по вертикальной оси $Oy$).

• Для $x = -4$: находим на оси $Ox$ точку -4. Поднимаемся или опускаемся до пересечения с графиком. Точка на графике имеет координаты $(-4, -3)$. Значит, $f(-4) = -3$.
• Для $x = -2,5$: находим на оси $Ox$ точку -2,5. Поднимаемся до графика. Точка на графике имеет координаты $(-2,5; 1)$. Значит, $f(-2,5) = 1$.
• Для $x = 0,5$: находим на оси $Ox$ точку 0,5. Поднимаемся до графика. Точка на графике имеет координаты $(0,5; 1)$. Значит, $f(0,5) = 1$.
• Для $x = 2$: находим на оси $Ox$ точку 2. Опускаемся до графика. Точка на графике имеет координаты $(2; -1,5)$. Значит, $f(2) = -1,5$.

Ответ: $f(-4) = -3$; $f(-2,5) = 1$; $f(0,5) = 1$; $f(2) = -1,5$.

2) значения $x$, при которых $f(x) = 2,5$, $f(x) = 1$, $f(x) = 0$

Чтобы найти значения $x$, для которых $f(x)$ равно определённому числу, нужно на оси ординат ($Oy$) найти это число, провести через него горизонтальную прямую и найти абсциссы всех точек пересечения этой прямой с графиком функции.

• $f(x) = 2,5$: проводим горизонтальную прямую $y = 2,5$. Она пересекает график в двух точках. Абсциссы этих точек примерно равны $x \approx -2,2$ и $x \approx -1,8$.
• $f(x) = 1$: проводим прямую $y = 1$. Она пересекает график в трёх точках с абсциссами $x = -3$, $x = 0$ и $x = 0,5$.
• $f(x) = 0$: это точки пересечения графика с осью абсцисс ($Ox$). График пересекает ось $Ox$ в точках, абсциссы которых $x \approx -3,2$, $x = -0,5$ и $x = 3,5$.

Ответ: $f(x) = 2,5$ при $x \approx -2,2$ и $x \approx -1,8$; $f(x) = 1$ при $x = -3$, $x = 0$, $x = 0,5$; $f(x) = 0$ при $x \approx -3,2$, $x = -0,5$, $x = 3,5$.

3) область определения и область значений функции

Область определения функции ($D(f)$) — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. На графике это проекция графика на ось $Ox$. График существует для всех $x$ от -4 до 5 включительно.

Область значений функции ($E(f)$) — это множество всех значений, которые принимает функция $y=f(x)$. На графике это проекция графика на ось $Oy$. Минимальное значение функции на графике равно -3, а максимальное — 3,5.

Ответ: Область определения: $D(f) = [-4; 5]$. Область значений: $E(f) = [-3; 3,5]$.

4) значения аргумента, при которых значения функции положительные

Значения функции положительны ($f(x) > 0$), когда её график расположен выше оси абсцисс ($Ox$). Из пункта 2 мы знаем, что нули функции (точки пересечения с осью $Ox$) находятся при $x \approx -3,2$, $x = -0,5$ и $x = 3,5$. График находится выше оси $Ox$ на интервалах $(-3,2; -0,5)$ и $(3,5; 5]$.

Ответ: $x \in (-3,2; -0,5) \cup (3,5; 5]$.

5) значения аргумента, при которых значения функции отрицательные

Значения функции отрицательны ($f(x) < 0$), когда её график расположен ниже оси абсцисс ($Ox$). График находится ниже оси $Ox$ на интервалах $[-4; -3,2)$ и $(-0,5; 3,5)$.

Ответ: $x \in [-4; -3,2) \cup (-0,5; 3,5)$.