Номер 822, страница 158 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Функции. §22. График функции - номер 822, страница 158.

Условие.

822. На рисунке 24 изображён график некоторой функции. Пользуясь графиком, найдите:

1) значение $y$, если $x = -3,5; -1,5; 2; 4$;

2) значения $x$, которым соответствуют значения $y = -3; -1,5; 2$;

3) значения аргумента, при которых значение функции равно нулю;

4) область определения и область значений функции;

5) значения аргумента, при которых значения функции положительные;

6) значения аргумента, при которых значения функции отрицательные.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) значение y, если x = -3,5; -1,5; 2; 4;
Чтобы найти значение функции $y$ при заданном значении аргумента $x$, нужно найти на оси абсцисс (ось $Ox$) заданное значение $x$, восстановить перпендикуляр к этой оси до пересечения с графиком, а затем из точки пересечения провести перпендикуляр к оси ординат (ось $Oy$). Координата точки пересечения с осью $Oy$ и будет искомым значением функции.
- При $x = -3,5$ находим на графике точку с этой абсциссой. Ее ордината равна $-2$. Значит, $y = -2$.
- При $x = -1,5$ находим на графике точку с этой абсциссой. Ее ордината равна $-2$. Значит, $y = -2$.
- При $x = 2$ находим на графике точку с этой абсциссой. Ее ордината равна $2$. Значит, $y = 2$.
- При $x = 4$ находим на графике точку с этой абсциссой. Ее ордината равна $-1$. Значит, $y = -1$.
Ответ: если $x = -3,5$, то $y = -2$; если $x = -1,5$, то $y = -2$; если $x = 2$, то $y = 2$; если $x = 4$, то $y = -1$.

2) значения x, которым соответствуют значения y = -3; -1,5; 2;
Чтобы найти значения $x$, которым соответствует заданное значение $y$, нужно найти на оси ординат (ось $Oy$) это значение, провести через него прямую, параллельную оси $Ox$, и найти абсциссы точек пересечения этой прямой с графиком.
- При $y = -3$ прямая пересекает график в двух точках с абсциссами $x = -3$ и $x = -2$.
- При $y = -1,5$ прямая пересекает график в трех точках с абсциссами $x \approx -3,8$, $x \approx -1,3$ и $x = 4,5$.
- При $y = 2$ прямая пересекает график в трех точках с абсциссами $x \approx -5,2$, $x = 0$ и $x = 2$.
Ответ: при $y = -3$, $x = -3$ или $x = -2$; при $y = -1,5$, $x \approx -3,8$, $x \approx -1,3$ или $x = 4,5$; при $y = 2$, $x \approx -5,2$, $x = 0$ или $x = 2$.

3) значения аргумента, при которых значение функции равно нулю;
Значение функции равно нулю ($y = 0$) в тех точках, где ее график пересекает ось абсцисс ($Ox$). Эти значения аргумента называются нулями функции.
Из графика видно, что график пересекает ось $Ox$ при $x = -4$, $x = -1$ и $x = 3$.
Ответ: $x = -4; x = -1; x = 3$.

4) область определения и область значений функции;
Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция определена. На графике это проекция графика на ось $Ox$.
График существует для $x$ от $-5,5$ до $5$ включительно. Таким образом, область определения $D(y) = [-5,5; 5]$.
Область значений функции — это множество всех значений, которые принимает функция $y$. На графике это проекция графика на ось $Oy$.
Наименьшее значение функции (самая низкая точка графика) равно $-3,5$. Наибольшее значение (самая высокая точка) равно $3$. Таким образом, область значений $E(y) = [-3,5; 3]$.
Ответ: область определения: $[-5,5; 5]$; область значений: $[-3,5; 3]$.

5) значения аргумента, при которых значения функции положительные;
Значения функции положительны ($y > 0$) на тех интервалах оси $x$, где график функции расположен выше оси $Ox$.
Из графика видно, что это происходит на двух промежутках: от $x = -5,5$ до $x = -4$ и от $x = -1$ до $x = 3$.
Таким образом, $y > 0$ при $x \in [-5,5; -4) \cup (-1; 3)$.
Ответ: $y > 0$ при $x \in [-5,5; -4) \cup (-1; 3)$.

6) значения аргумента, при которых значения функции отрицательные.
Значения функции отрицательны ($y < 0$) на тех интервалах оси $x$, где график функции расположен ниже оси $Ox$.
Из графика видно, что это происходит на двух промежутках: от $x = -4$ до $x = -1$ и от $x = 3$ до $x = 5$.
Таким образом, $y < 0$ при $x \in (-4; -1) \cup (3; 5]$.
Ответ: $y < 0$ при $x \in (-4; -1) \cup (3; 5]$.