Номер 3, страница 157 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Функции. Вопросы к параграфу 22 - номер 3, страница 157.

Условие.

3. Может ли график функции состоять из одной точки?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 6.

3. Может ли график функции состоять из одной точки?

Да, график функции может состоять из одной точки. Это происходит в том случае, когда область определения функции состоит из одного-единственного числа.

По определению, функция $y = f(x)$ — это правило, которое каждому значению независимой переменной $x$ из некоторого множества (области определения $D(f)$) ставит в соответствие единственное значение зависимой переменной $y$. График функции — это множество всех точек на координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции, то есть точек вида $(x, f(x))$.

Если область определения функции состоит только из одного элемента, например, $D(f) = \{a\}$, то для построения графика нам нужно рассмотреть только одно значение $x = a$. Функция сопоставит этому значению единственное значение $y = f(a)$. Таким образом, график будет состоять из одной единственной точки с координатами $(a, f(a))$.

Пример:

Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x-2} + \sqrt{2-x}$.

Найдем ее область определения. Для этого должны выполняться два условия одновременно:

$ \begin{cases} x - 2 \ge 0 \\ 2 - x \ge 0 \end{cases} $

Из первого неравенства получаем $x \ge 2$. Из второго — $x \le 2$.

Единственное число, которое одновременно больше или равно двум и меньше или равно двум, — это число 2. Следовательно, область определения этой функции состоит из одного числа: $D(y) = \{2\}$.

Теперь найдем значение функции при $x = 2$:

$y(2) = \sqrt{2-2} + \sqrt{2-2} = \sqrt{0} + \sqrt{0} = 0$.

Таким образом, график данной функции состоит из одной точки с координатами $(2, 0)$.

Ответ: Да, может. Это возможно, если область определения функции состоит из одного элемента.