Номер 817, страница 152 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Функции. §21. Способы задания функции - номер 817, страница 152.

Условие.

817. Известно, что $x + y = \frac{a^2}{4}$, $y + z = -a$, $x + z = 1$. Докажите, что выражение $x + y + z$ принимает только неотрицательные значения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для того чтобы доказать, что выражение $x + y + z$ принимает только неотрицательные значения, сложим все три уравнения, данные в условии:

$(x + y) + (y + z) + (x + z) = \frac{a^2}{4} - a + 1$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$2x + 2y + 2z = \frac{a^2}{4} - a + 1$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2(x + y + z) = \frac{a^2}{4} - a + 1$

Рассмотрим выражение в правой части. Оно представляет собой формулу квадрата разности:

$\frac{a^2}{4} - a + 1 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{a}{2} \cdot 1 + 1^2 = \left(\frac{a}{2} - 1\right)^2$

Теперь наше уравнение можно записать в следующем виде:

$2(x + y + z) = \left(\frac{a}{2} - 1\right)^2$

Выразим из этого уравнения сумму $x + y + z$:

$x + y + z = \frac{1}{2} \left(\frac{a}{2} - 1\right)^2$

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $\left(\frac{a}{2} - 1\right)^2 \ge 0$ для любого значения $a$.

Поскольку множитель $\frac{1}{2}$ положителен, то и все произведение будет неотрицательным:

$x + y + z \ge 0$

Таким образом, доказано, что выражение $x + y + z$ принимает только неотрицательные значения, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.