Номер 814, страница 152 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Функции. §21. Способы задания функции - номер 814, страница 152.

Условие.

814. Какое из следующих уравнений: а) имеет один корень; б) имеет два корня; в) имеет бесконечно много корней; г) не имеет ни одного корня:

1) $3.4(1 + 3x) - 1.2 = 2(1.1 + 5.1x)$;

2) $|2x - 1| = 17.3$;

3) $3(|x - 1| - 6) + 21 = 0$;

4) $0.2(7 - 2x) = 2.3 - 0.3(x - 6)$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для того чтобы ответить на вопрос, проанализируем каждое уравнение:

а) имеет один корень

Рассмотрим уравнение 4) $0,2(7 - 2x) = 2,3 - 0,3(x - 6)$.

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$1,4 - 0,4x = 2,3 - 0,3x + 1,8$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$1,4 - 0,4x = 4,1 - 0,3x$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а свободные члены — в правой:

$-0,4x + 0,3x = 4,1 - 1,4$

$-0,1x = 2,7$

Найдем $x$:

$x = \frac{2,7}{-0,1}$

$x = -27$

Уравнение имеет единственный корень, следовательно, оно соответствует данному условию.

Ответ: 4).

б) имеет два корня

Рассмотрим уравнение 2) $|2x - 1| = 17,3$.

По определению модуля, это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1) $2x - 1 = 17,3$

$2x = 18,3$

$x_1 = 9,15$

2) $2x - 1 = -17,3$

$2x = -16,3$

$x_2 = -8,15$

Уравнение имеет два различных корня, следовательно, оно соответствует данному условию.

Ответ: 2).

в) имеет бесконечно много корней

Рассмотрим уравнение 1) $3,4(1 + 3x) - 1,2 = 2(1,1 + 5,1x)$.

Раскроем скобки:

$3,4 + 10,2x - 1,2 = 2,2 + 10,2x$

Упростим левую часть:

$2,2 + 10,2x = 2,2 + 10,2x$

Перенесем все члены в одну сторону:

$10,2x - 10,2x = 2,2 - 2,2$

$0 \cdot x = 0$

Полученное равенство является тождеством, верным при любом значении $x$. Следовательно, уравнение имеет бесконечно много корней.

Ответ: 1).

г) не имеет ни одного корня

Рассмотрим уравнение 3) $3(|x - 1| - 6) + 21 = 0$.

Упростим уравнение, чтобы выразить модуль:

$3(|x - 1| - 6) = -21$

Разделим обе части на 3:

$|x - 1| - 6 = -7$

Перенесем -6 в правую часть:

$|x - 1| = -7 + 6$

$|x - 1| = -1$

Абсолютное значение (модуль) любого действительного числа по определению не может быть отрицательным. Таким образом, полученное уравнение не имеет решений.

Ответ: 3).