Номер 820, страница 153 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Функции. §21. Способы задания функции - номер 820, страница 153.

Условие.

820. Докажите, что в любом 60-значном числе, десятичная запись которого не содержит нулей, можно зачеркнуть несколько цифр так, что полученное в результате этого число будет делиться нацело на 1001.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Рассмотрим произвольное 60-значное число, в десятичной записи которого нет нулей. Это означает, что все его цифры принадлежат множеству $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

Докажем, что в последовательности из 60 цифр этого числа можно найти подпоследовательность из шести одинаковых цифр.

Используем принцип Дирихле (принцип голубей и ящиков). В нашем случае «голубями» являются 60 позиций (разрядов) в числе, а «ящиками» — 9 возможных значений цифр (от 1 до 9).

Согласно принципу Дирихле, если 60 голубей рассадить по 9 ящикам, то найдётся хотя бы один ящик, в котором будет не менее $\lceil \frac{60}{9} \rceil$ голубей.

Вычислим это значение:

$\lceil \frac{60}{9} \rceil = \lceil 6.66... \rceil = 7$.

Это означает, что по крайней мере одна из цифр от 1 до 9 встречается в записи 60-значного числа как минимум 7 раз. Пусть эта цифра будет $d$.

Поскольку цифра $d$ встречается в числе не менее 7 раз, мы можем выбрать первые 6 её вхождений. Оставив только эти 6 цифр $d$ и зачеркнув все остальные цифры (как до первой из них, так и между ними, и после последней), мы получим новое число $N$, состоящее из шести одинаковых цифр $d$.

Запись этого числа имеет вид $N = \overline{dddddd}$.

Теперь покажем, что любое такое число делится нацело на 1001. Представим число $N$ в виде произведения:

$N = d \times 111111$.

Разложим число 111111 на множители:

$111111 = 111000 + 111 = 111 \times 1000 + 111 \times 1 = 111 \times (1000 + 1) = 111 \times 1001$.

Таким образом, число $N$ можно представить как:

$N = d \times 111 \times 1001$.

Из этого представления видно, что число $N$ является произведением целых чисел, одним из которых является 1001. Следовательно, $N$ делится на 1001 нацело.

Мы доказали, что в любом 60-значном числе без нулей можно зачеркнуть несколько цифр так, чтобы полученное число делилось на 1001. Что и требовалось доказать.