Номер 52, страница 25 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

2. Прямая и обратная пропорциональность - номер 52, страница 25.

Условие.

52. Разделите отрезок на части в данном отношении.

а) $1:2$

б) $2:3$

в) $3:5$

Решение.

Решение 2.

Для решения данной задачи используется классический метод геометрического построения, основанный на теореме Фалеса. Теорема Фалеса гласит, что если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных между собой отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой также равные между собой отрезки. Обобщенная теорема Фалеса позволяет делить отрезок в любом заданном отношении.

а)

Чтобы разделить отрезок в отношении $1:2$, необходимо найти на нем точку, которая разделит его на две части, длины которых относятся как 1 к 2.
Алгоритм построения:
1. Пусть нам дан отрезок AB. Из одного из его концов, например, из точки A, проведем произвольный луч AC, не лежащий на прямой AB.
2. Определим общее количество равных частей, на которые мы условно разделим отрезок. Для отношения $1:2$ это будет $1 + 2 = 3$ части.
3. С помощью циркуля отложим на луче AC, начиная от точки A, три равных между собой отрезка произвольной длины. Обозначим концы этих отрезков как $A_1$, $A_2$ и $A_3$. Таким образом, мы получим $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3$.
4. Соединим последнюю точку на луче, $A_3$, с другим концом исходного отрезка — точкой B. Получим вспомогательный отрезок $A_3B$.
5. Первое число в заданном отношении — 1. Поэтому мы будем использовать первую отложенную точку, $A_1$. Через точку $A_1$ проведем прямую, параллельную отрезку $A_3B$.
6. Точка пересечения этой прямой с исходным отрезком AB и будет искомой точкой. Обозначим ее P. Согласно обобщенной теореме Фалеса, точка P делит отрезок AB в том же отношении, в каком точка $A_1$ делит отрезок $AA_3$. Таким образом, отношение длин отрезков $AP$ и $PB$ будет равно $AP:PB = AA_1:A_1A_3 = 1:2$.

Ответ: Точка P, построенная согласно алгоритму, делит отрезок AB в отношении $1:2$.

б)

Чтобы разделить отрезок в отношении $2:3$, нужно найти на нем точку, которая разделит его на две части, длины которых будут относиться как 2 к 3.
Алгоритм построения аналогичен предыдущему:
1. Пусть дан отрезок AB. Из точки A проведем произвольный луч AC.
2. Общее количество условных частей для отношения $2:3$ составляет $2 + 3 = 5$ частей.
3. На луче AC от точки A последовательно отложим пять равных отрезков произвольной длины с помощью циркуля. Обозначим полученные точки $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$.
4. Соединим последнюю точку $A_5$ с точкой B, получив отрезок $A_5B$.
5. Первое число в отношении — 2. Поэтому нам нужна точка $A_2$. Проведем через точку $A_2$ прямую, параллельную отрезку $A_5B$.
6. Эта прямая пересечет отрезок AB в искомой точке P. По теореме Фалеса, точка P разделит отрезок AB в отношении $AP:PB = AA_2:A_2A_5 = 2:3$.

Ответ: Точка P, построенная согласно алгоритму, делит отрезок AB в отношении $2:3$.

в)

Чтобы разделить отрезок в отношении $3:5$, нужно найти на нем точку, делящую его на части, длины которых относятся как 3 к 5.
Используем тот же метод:
1. Пусть дан отрезок AB. Из точки A проведем луч AC под произвольным углом к AB.
2. Общее количество условных частей для отношения $3:5$ равно $3 + 5 = 8$ частей.
3. На луче AC отложим восемь равных отрезков произвольной длины, получив точки $A_1, A_2, \dots, A_8$.
4. Соединим последнюю точку $A_8$ с концом отрезка B.
5. Первое число в отношении — 3. Находим на луче точку $A_3$ и проводим через нее прямую, параллельную отрезку $A_8B$.
6. Точка P, в которой эта параллельная прямая пересечет исходный отрезок AB, будет делить его в заданном отношении. Согласно теореме Фалеса, $AP:PB = AA_3:A_3A_8 = 3:5$.

Ответ: Точка P, построенная согласно алгоритму, делит отрезок AB в отношении $3:5$.