Страница 25 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

51. a) Закрашенная часть треугольника — ${4 \over 9}$, незакрашенная часть — ............; отношение закрашенной части к незакрашенной равно ............... .

б) Закрасьте ${2 \over 9}$ треугольника. Незакрашенная часть треугольника — ............; отношение закрашенной части к незакрашенной равно ................ .

в) Закрасьте часть треугольника так, чтобы отношение закрашенной части к незакрашенной было равно 1 : 2. Закрашенная часть треугольника — ............., незакрашенная часть — ...... .

а) Большой треугольник разделен на 9 одинаковых маленьких треугольников. Это означает, что каждый маленький треугольник составляет $\frac{1}{9}$ от всего большого треугольника.
На рисунке мы видим, что закрашено 4 маленьких треугольника из 9. Следовательно, закрашенная часть составляет $\frac{4}{9}$.
Чтобы найти незакрашенную часть, нужно из общего количества частей (9) вычесть количество закрашенных частей (4):
$9 - 4 = 5$
Таким образом, 5 маленьких треугольников остались незакрашенными. Это составляет $\frac{5}{9}$ от всего большого треугольника.
Отношение закрашенной части к незакрашенной — это отношение количества закрашенных треугольников к количеству незакрашенных.
Количество закрашенных — 4.
Количество незакрашенных — 5.
Отношение записывается как $4:5$.
Ответ: незакрашенная часть — $\frac{5}{9}$; отношение закрашенной части к незакрашенной равно $4:5$.

б) Чтобы закрасить $\frac{2}{9}$ треугольника, нужно закрасить 2 из 9 равных маленьких треугольников.
После того как мы закрасим 2 маленьких треугольника, незакрашенными останутся остальные. Их количество можно найти, вычтя из общего числа треугольников число закрашенных:
$9 - 2 = 7$
Значит, незакрашенная часть треугольника составляет $\frac{7}{9}$.
Отношение закрашенной части (2 треугольника) к незакрашенной (7 треугольников) будет равно:
$2:7$
Ответ: незакрашенная часть треугольника — $\frac{7}{9}$; отношение закрашенной части к незакрашенной равно $2:7$.

в) Требуется закрасить часть треугольника так, чтобы отношение закрашенной части к незакрашенной было равно $1:2$.
Это отношение означает, что на каждую 1 закрашенную часть приходится 2 незакрашенные. Сумма частей в этом отношении равна $1 + 2 = 3$.
Весь большой треугольник состоит из 9 маленьких треугольников. Эти 9 треугольников нужно разделить на 3 равные "пропорциональные" части. Размер каждой такой части:
$9 \div 3 = 3$ маленьких треугольника.
Согласно отношению $1:2$:
- Закрашенная часть соответствует 1 "пропорциональной" части, то есть $1 \times 3 = 3$ маленьких треугольника.
- Незакрашенная часть соответствует 2 "пропорциональным" частям, то есть $2 \times 3 = 6$ маленьких треугольников.
Проверим: всего треугольников $3 + 6 = 9$. Отношение закрашенных к незакрашенным $3:6$, что сокращается до $1:2$.
Теперь выразим эти части в виде дробей:
- Закрашенная часть: 3 из 9, то есть $\frac{3}{9}$ (или $\frac{1}{3}$).
- Незакрашенная часть: 6 из 9, то есть $\frac{6}{9}$ (или $\frac{2}{3}$).
Ответ: Закрашенная часть треугольника — $\frac{3}{9}$, незакрашенная часть — $\frac{6}{9}$.

52. Разделите отрезок на части в данном отношении.

а) $1:2$

б) $2:3$

в) $3:5$

Для решения данной задачи используется классический метод геометрического построения, основанный на теореме Фалеса. Теорема Фалеса гласит, что если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных между собой отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой также равные между собой отрезки. Обобщенная теорема Фалеса позволяет делить отрезок в любом заданном отношении.

Чтобы разделить отрезок в отношении $1:2$, необходимо найти на нем точку, которая разделит его на две части, длины которых относятся как 1 к 2.
Алгоритм построения:
1. Пусть нам дан отрезок AB. Из одного из его концов, например, из точки A, проведем произвольный луч AC, не лежащий на прямой AB.
2. Определим общее количество равных частей, на которые мы условно разделим отрезок. Для отношения $1:2$ это будет $1 + 2 = 3$ части.
3. С помощью циркуля отложим на луче AC, начиная от точки A, три равных между собой отрезка произвольной длины. Обозначим концы этих отрезков как $A_1$, $A_2$ и $A_3$. Таким образом, мы получим $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3$.
4. Соединим последнюю точку на луче, $A_3$, с другим концом исходного отрезка — точкой B. Получим вспомогательный отрезок $A_3B$.
5. Первое число в заданном отношении — 1. Поэтому мы будем использовать первую отложенную точку, $A_1$. Через точку $A_1$ проведем прямую, параллельную отрезку $A_3B$.
6. Точка пересечения этой прямой с исходным отрезком AB и будет искомой точкой. Обозначим ее P. Согласно обобщенной теореме Фалеса, точка P делит отрезок AB в том же отношении, в каком точка $A_1$ делит отрезок $AA_3$. Таким образом, отношение длин отрезков $AP$ и $PB$ будет равно $AP:PB = AA_1:A_1A_3 = 1:2$.

Ответ: Точка P, построенная согласно алгоритму, делит отрезок AB в отношении $1:2$.

Чтобы разделить отрезок в отношении $2:3$, нужно найти на нем точку, которая разделит его на две части, длины которых будут относиться как 2 к 3.
Алгоритм построения аналогичен предыдущему:
1. Пусть дан отрезок AB. Из точки A проведем произвольный луч AC.
2. Общее количество условных частей для отношения $2:3$ составляет $2 + 3 = 5$ частей.
3. На луче AC от точки A последовательно отложим пять равных отрезков произвольной длины с помощью циркуля. Обозначим полученные точки $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$.
4. Соединим последнюю точку $A_5$ с точкой B, получив отрезок $A_5B$.
5. Первое число в отношении — 2. Поэтому нам нужна точка $A_2$. Проведем через точку $A_2$ прямую, параллельную отрезку $A_5B$.
6. Эта прямая пересечет отрезок AB в искомой точке P. По теореме Фалеса, точка P разделит отрезок AB в отношении $AP:PB = AA_2:A_2A_5 = 2:3$.

Ответ: Точка P, построенная согласно алгоритму, делит отрезок AB в отношении $2:3$.

Чтобы разделить отрезок в отношении $3:5$, нужно найти на нем точку, делящую его на части, длины которых относятся как 3 к 5.
Используем тот же метод:
1. Пусть дан отрезок AB. Из точки A проведем луч AC под произвольным углом к AB.
2. Общее количество условных частей для отношения $3:5$ равно $3 + 5 = 8$ частей.
3. На луче AC отложим восемь равных отрезков произвольной длины, получив точки $A_1, A_2, \dots, A_8$.
4. Соединим последнюю точку $A_8$ с концом отрезка B.
5. Первое число в отношении — 3. Находим на луче точку $A_3$ и проводим через нее прямую, параллельную отрезку $A_8B$.
6. Точка P, в которой эта параллельная прямая пересечет исходный отрезок AB, будет делить его в заданном отношении. Согласно теореме Фалеса, $AP:PB = AA_3:A_3A_8 = 3:5$.

Ответ: Точка P, построенная согласно алгоритму, делит отрезок AB в отношении $3:5$.

53. Разделите круг в данном отношении.

а) $1:2$

б) $2:3$

25

Чтобы разделить круг в заданном отношении, необходимо разделить его площадь на секторы, площади которых будут находиться в этом же отношении. Поскольку площадь сектора круга прямо пропорциональна величине его центрального угла, задача сводится к разделению полного угла окружности, составляющего $360^\circ$, в указанном отношении.

а)

Для разделения круга в отношении 1:2 необходимо выполнить следующие действия:

1. Найти общее количество долей, на которые делится круг, сложив числа в отношении: $1 + 2 = 3$ (доли).

2. Разделить полный угол круга ($360^\circ$) на общее количество долей, чтобы найти, сколько градусов приходится на одну долю:

$$ \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ $$

3. Вычислить центральные углы для каждого из двух секторов. Меньший сектор будет соответствовать 1 доле и иметь угол $1 \times 120^\circ = 120^\circ$. Больший сектор будет соответствовать 2 долям и иметь угол $2 \times 120^\circ = 240^\circ$.

Таким образом, для разделения круга в отношении 1:2 нужно провести из его центра два радиуса так, чтобы угол между ними составлял $120^\circ$. Это разделит круг на два сектора, площади которых будут относиться как 1:2.

Ответ: Необходимо провести два радиуса, образующих центральный угол в $120^\circ$.

б)

Для разделения круга в отношении 2:3 необходимо выполнить следующие действия:

1. Найти общее количество долей, сложив числа в отношении: $2 + 3 = 5$ (долей).

2. Разделить полный угол круга ($360^\circ$) на общее количество долей, чтобы найти величину одной доли:

$$ \frac{360^\circ}{5} = 72^\circ $$

3. Вычислить центральные углы для каждого сектора. Первый сектор будет соответствовать 2 долям и иметь угол $2 \times 72^\circ = 144^\circ$. Второй сектор будет соответствовать 3 долям и иметь угол $3 \times 72^\circ = 216^\circ$.

Таким образом, для разделения круга в отношении 2:3 нужно провести из его центра два радиуса так, чтобы угол между ними составлял $144^\circ$. Это разделит круг на два сектора, площади которых будут относиться как 2:3.

Ответ: Необходимо провести два радиуса, образующих центральный угол в $144^\circ$.