Страница 31 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

67. Раскройте скобки и упростите выражения.

a) $n + (n + 3) + (n + 6) = ..........$

$(n - 3) + (n - 1) + (n + 1) = ..........$

$(n - 10) + (n - 5) + n + (n + 5) = ..........$

б) $(p - 5) - (p + 5) = p - 5 - p - 5 = ..........$

$(p + 5) - (p - 5) = ..........$

$p - (p - 5) + (p + 5) = ..........$

а)

Для выражения $n + (n + 3) + (n + 6)$ раскроем скобки. Так как перед скобками стоит знак плюс, знаки слагаемых в них не меняются: $n + n + 3 + n + 6$. Теперь сгруппируем и сложим подобные слагаемые: $(n + n + n) + (3 + 6) = 3n + 9$.

Ответ: $3n + 9$

Для выражения $(n - 3) + (n - 1) + (n + 1)$ раскроем скобки: $n - 3 + n - 1 + n + 1$. Сгруппируем и сложим подобные слагаемые: $(n + n + n) + (-3 - 1 + 1) = 3n - 3$.

Ответ: $3n - 3$

Для выражения $(n - 10) + (n - 5) + n + (n + 5)$ раскроем скобки: $n - 10 + n - 5 + n + n + 5$. Сгруппируем и сложим подобные слагаемые: $(n + n + n + n) + (-10 - 5 + 5) = 4n - 10$.

Ответ: $4n - 10$

б)

Для выражения $(p - 5) - (p + 5)$ раскроем скобки. Перед второй скобкой стоит знак минус, поэтому знаки всех слагаемых внутри нее меняются на противоположные: $p - 5 - p - 5$. Сгруппируем и сложим подобные слагаемые: $(p - p) + (-5 - 5) = 0 - 10 = -10$.

Ответ: $-10$

Для выражения $(p + 5) - (p - 5)$ раскроем скобки, меняя знаки во второй скобке на противоположные: $p + 5 - p + 5$. Сгруппируем и сложим подобные слагаемые: $(p - p) + (5 + 5) = 0 + 10 = 10$.

Ответ: $10$

Для выражения $p - (p - 5) + (p + 5)$ раскроем скобки. Знак минус перед первой скобкой меняет знаки внутри нее: $p - p + 5 + p + 5$. Сгруппируем и сложим подобные слагаемые: $(p - p + p) + (5 + 5) = p + 10$.

Ответ: $p + 10$

68. Выберите равные выражения и соедините их линией.

$-k + (m + n)$

$k - (m + n)$

$k - (m - n)$

$k - (-m + n)$

$k - (-m - n)$

$k + m - n$

$k + m + n$

$-k + m + n$

$k - m + n$

$k - m - n$

Для того чтобы найти равные выражения, необходимо раскрыть скобки в выражениях из левого столбца и сравнить результат с выражениями из правого столбца. Основное правило: если перед скобкой стоит знак "+", то знаки слагаемых в скобках не меняются; если перед скобкой стоит знак "-", то знаки всех слагаемых в скобках меняются на противоположные.

-k + (m + n)

Перед скобками стоит знак "+", поэтому мы убираем скобки, не меняя знаки слагаемых $m$ и $n$.

$-k + (m + n) = -k + m + n$

Ответ: $-k + (m + n) = -k + m + n$

k - (m + n)

Перед скобками стоит знак "-", поэтому мы убираем скобки и меняем знаки слагаемых $m$ и $n$ на противоположные.

$k - (m + n) = k - m - n$

Ответ: $k - (m + n) = k - m - n$

k - (m - n)

Перед скобками стоит знак "-", поэтому мы меняем знаки у слагаемых внутри скобок: $+m$ становится $-m$, а $-n$ становится $+n$.

$k - (m - n) = k - m + n$

Ответ: $k - (m - n) = k - m + n$

k - (-m + n)

Перед скобками стоит знак "-", поэтому мы меняем знаки у слагаемых внутри скобок: $-m$ становится $+m$, а $+n$ становится $-n$.

$k - (-m + n) = k + m - n$

Ответ: $k - (-m + n) = k + m - n$

k - (-m - n)

Перед скобками стоит знак "-", поэтому мы меняем знаки у слагаемых внутри скобок: $-m$ становится $+m$, а $-n$ становится $+n$.

$k - (-m - n) = k + m + n$

Ответ: $k - (-m - n) = k + m + n$

69. Упростите выражения.

$a - (a - (a + 6)) = a - (a - a - 6) = \dots$

$a - (a + (7 - a)) = \dots$

$-a + (4 - (4 + a)) = \dots$

$a - (10 - (5 - a)) = \dots$

$a - (a - (a + 6)) = a - (a - a - 6)$
Для упрощения выражения необходимо последовательно раскрывать скобки, начиная с самых внутренних. Правило раскрытия скобок гласит: если перед скобкой стоит знак «-», то все знаки внутри скобок меняются на противоположные; если стоит знак «+», знаки не меняются.
1. Раскроем внутренние скобки $(a + 6)$. Перед ними стоит знак «-», поэтому выражение примет вид:
$a - (a - a - 6)$
2. Упростим выражение в скобках, приведя подобные слагаемые:
$a - a = 0$
Получаем:
$a - (0 - 6) = a - (-6)$
3. Раскроем оставшиеся скобки. Так как перед скобкой стоит знак «-», знак внутри меняется:
$a + 6$
Ответ: $a + 6$

$a - (a + (7 - a))$
1. Начнем с раскрытия внутренних скобок $(7 - a)$. Перед ними стоит знак «+», поэтому знаки внутри не меняются:
$a - (a + 7 - a)$
2. Приведем подобные слагаемые внутри скобок:
$a - a + 7 = 7$
Выражение упрощается до:
$a - 7$
Ответ: $a - 7$

$-a + (4 - (4 + a))$
1. Раскроем внутренние скобки $(4 + a)$. Перед ними стоит знак «-», поэтому знаки слагаемых внутри меняются на противоположные:
$-a + (4 - 4 - a)$
2. Упростим выражение в скобках:
$4 - 4 - a = -a$
Получаем:
$-a + (-a)$
3. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$-a - a = -2a$
Ответ: $-2a$

$a - (10 - (5 - a))$
1. Раскроем внутренние скобки $(5 - a)$. Перед ними стоит знак «-», поэтому меняем знаки внутри:
$a - (10 - 5 + a)$
2. Упростим выражение в скобках:
$10 - 5 + a = 5 + a$
Получаем:
$a - (5 + a)$
3. Раскроем оставшиеся скобки. Перед ними снова стоит знак «-», поэтому знаки опять меняются:
$a - 5 - a$
4. Приведем подобные слагаемые:
$a - a - 5 = -5$
Ответ: $-5$

70. Расставьте знаки «+» и «-» так, чтобы равенство было верным.

$x ... (-x) ... y ... (-y) ... (-y) = y$

$(-b) ... c ... c ... b ... (-c) ... (-c) = 2c$

$b ... a ... b ... a ... b ... (-a) ... (-b) ... a ... a = 3a - 2b$

$x \, ... \, (-x) \, ... \, y \, ... \, (-y) \, ... \, (-y) = y$

Чтобы равенство было верным, необходимо правильно расставить знаки «+» и «−». В правой части равенства находится переменная $y$, а в левой части присутствуют как $x$, так и $y$. Это означает, что все члены, содержащие $x$, должны в сумме дать ноль. Чтобы взаимно уничтожить слагаемые $x$ и $(-x)$, нужно их сложить: $x + (-x) = x - x = 0$. После этого исходное выражение упрощается до $0 \, ... \, y \, ... \, (-y) \, ... \, (-y) = y$. Теперь нам нужно из оставшихся слагаемых $y$, $(-y)$ и $(-y)$ получить в результате $y$. Этого можно достичь следующей комбинацией знаков: $y + (-y) - (-y) = y - y + y = y$. Объединив все найденные знаки, получаем полное выражение. Проведем проверку: $x + (-x) + y + (-y) - (-y) = x - x + y - y + y = 0 + 0 + y = y$. Равенство $y=y$ является верным.

Ответ: $x + (-x) + y + (-y) - (-y) = y$.

$(-b) \, ... \, c \, ... \, c \, ... \, b \, ... \, (-c) \, ... \, (-c) = 2c$

В данном равенстве в правой части стоит выражение $2c$. В левой части находятся слагаемые с переменными $b$ и $c$. Логично предположить, что слагаемые с переменной $b$, а именно $(-b)$ и $b$, должны взаимно уничтожиться. Для этого их нужно сложить: $(-b) + b = 0$. Теперь разберемся со слагаемыми, содержащими $c$: $c$, $c$, $(-c)$, $(-c)$. Нам нужно получить из них $2c$. Это возможно, например, так: $c + c + (-c) - (-c) = c + c - c + c = 2c$. Теперь расставим знаки в исходном выражении в соответствии с этой логикой. Получаем: $(-b) + c + c + b + (-c) - (-c) = 2c$. Выполним проверку, упростив левую часть: $-b + c + c + b - c + c = (-b + b) + (c + c - c + c) = 0 + 2c = 2c$. Равенство $2c=2c$ является верным.

Ответ: $(-b) + c + c + b + (-c) - (-c) = 2c$.

$b \, ... \, a \, ... \, b \, ... \, a \, ... \, b \, ... \, (-a) \, ... \, (-b) \, ... \, a \, ... \, a = 3a - 2b$

Цель — получить в левой части выражение $3a - 2b$. Сгруппируем слагаемые по переменным.
Слагаемые с переменной $a$: $a, a, (-a), a, a$.
Слагаемые с переменной $b$: $b, b, b, (-b)$.
Рассмотрим, как можно получить коэффициент $-2$ для переменной $b$. Сумма коэффициентов при слагаемых с $b$ должна быть равна $-2$. Первое слагаемое $b$ имеет знак «+». Обозначим знаки перед остальными слагаемыми с $b$ (это $b$, $b$ и $(-b)$) как $s_1, s_2, s_3$. Тогда $1 + s_1 + s_2 + s_3 \cdot (-1) = -2$. Единственная комбинация знаков, удовлетворяющая этому условию, это $s_1=-1, s_2=-1, s_3=+1$. Тогда $1-1-1-1 = -2$. Это значит, что перед вторым и третьим $b$ должен стоять «−», а перед $(-b)$ — «+».
Теперь рассмотрим слагаемые с переменной $a$. Сумма их коэффициентов должна быть равна $3$. Обозначим знаки перед слагаемыми $a, a, (-a), a, a$ как $k_1, k_2, k_3, k_4, k_5$ (относительно первого слагаемого $b$). Мы ищем знаки между ними. Пусть знак перед первым $a$ будет $k_1$. Тогда $k_1 \cdot 1 + k_2 \cdot 1 + k_3 \cdot (-1) + k_4 \cdot 1 + k_5 \cdot 1 = 3$. Если предположить, что все знаки — плюсы, получим $1+1-1+1+1 = 3$. Это означает, что между всеми слагаемыми, где появляется $a$, нужно поставить знак «+».
Собираем итоговое выражение: $b + a - b + a - b + (-a) + (-b) + a + a$.
Проверим его: сгруппируем слагаемые с $a$ и с $b$.
Сумма слагаемых с $a$: $a + a - a + a + a = 3a$.
Сумма слагаемых с $b$: $b - b - b - b = -2b$.
Общая сумма: $3a - 2b$. Равенство верно.

Ответ: $b + a - b + a - b + (-a) + (-b) + a + a = 3a - 2b$.