Страница 33 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

75. Подчеркните выражения, тождественно равные $-2x$.

$-x + 2x + (-3x)$ $x + (-2x) + 3x$ $-x - 2x + 3x$

$-2x + (-x) + 2x + 3x$ $-x + (-x) + (-2x) + 2x$ $2x + x + (-2x) - 3x$

Для того чтобы определить, какие из предложенных выражений тождественно равны $-2x$, необходимо упростить каждое из них, выполнив сложение и вычитание подобных слагаемых.

$-x + 2x + (-3x)$

Сначала раскроем скобки. Сложение с отрицательным числом равносильно вычитанию.

$-x + 2x - 3x$

Теперь приведем подобные слагаемые, сложив их коэффициенты:

$(-1 + 2 - 3)x = (1 - 3)x = -2x$

Результат равен $-2x$, следовательно, это выражение является тождественно равным $-2x$.

Ответ: $-2x$.

$x + (-2x) + 3x$

Раскроем скобки:

$x - 2x + 3x$

Приведем подобные слагаемые:

$(1 - 2 + 3)x = (-1 + 3)x = 2x$

Результат не равен $-2x$.

Ответ: $2x$.

$-x - 2x + 3x$

Приведем подобные слагаемые:

$(-1 - 2 + 3)x = (-3 + 3)x = 0 \cdot x = 0$

Результат не равен $-2x$.

Ответ: $0$.

$-2x + (-x) + 2x + 3x$

Раскроем скобки:

$-2x - x + 2x + 3x$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(-2 - 1 + 2 + 3)x = (-3 + 5)x = 2x$

Результат не равен $-2x$.

Ответ: $2x$.

$-x + (-x) + (-2x) + 2x$

Раскроем скобки:

$-x - x - 2x + 2x$

Приведем подобные слагаемые:

$(-1 - 1 - 2 + 2)x = (-2 - 0)x = -2x$

Результат равен $-2x$, следовательно, это выражение является тождественно равным $-2x$.

Ответ: $-2x$.

$2x + x + (-2x) - 3x$

Раскроем скобки:

$2x + x - 2x - 3x$

Приведем подобные слагаемые:

$(2 + 1 - 2 - 3)x = (3 - 5)x = -2x$

Результат равен $-2x$, следовательно, это выражение является тождественно равным $-2x$.

Ответ: $-2x$.

Таким образом, выражения, которые тождественно равны $-2x$ и которые необходимо подчеркнуть, это:

$-x + 2x + (-3x)$

$-x + (-x) + (-2x) + 2x$

$2x + x + (-2x) - 3x$

76. Расставьте скобки так, чтобы, преобразуя левую часть, можно было получить правую.

$a - b - a - b = 2a$,

$a - b - a - b = 2(a - b)$,

$a - b - a - b = 0$.

a - b - a - b = 2a

Чтобы в результате преобразования левой части получилось выражение $2a$, необходимо сгруппировать три последних члена выражения. Поставим скобки следующим образом: $a - (b - a - b)$. Теперь преобразуем левую часть. Сначала выполним вычисления в скобках: $b - a - b = (b - b) - a = -a$. Подставим полученный результат в исходное выражение: $a - (-a) = a + a = 2a$. Таким образом, мы получили тождество: $2a = 2a$.

Ответ: $a - (b - a - b) = 2a$.

a - b - a - b = 2(a - b)

Чтобы в левой части получить выражение, равное $2(a - b)$, поставим скобки так: $a - (b - a) - b$. Преобразуем левую часть, раскрыв скобки. Так как перед скобкой стоит знак минус, все знаки внутри скобок меняются на противоположные: $a - b + a - b$. Теперь приведем подобные слагаемые: $(a + a) + (-b - b) = 2a - 2b$. Вынесем общий множитель 2 за скобки: $2(a - b)$. Таким образом, мы получили тождество: $2(a - b) = 2(a - b)$.

Ответ: $a - (b - a) - b = 2(a - b)$.

a - b - a - b = 0

Чтобы в результате преобразования левой части получился ноль, необходимо поставить скобки следующим образом: $a - b - (a - b)$. Раскроем скобки в левой части. Знак минус перед скобкой меняет знаки слагаемых внутри на противоположные: $a - b - a + b$. Приведем подобные слагаемые: $(a - a) + (-b + b) = 0 + 0 = 0$. Таким образом, мы получили тождество: $0 = 0$.

Ответ: $a - b - (a - b) = 0$.

77. Найдите площадь фигуры двумя способами: 1) достроив фигуру до прямоугольника; 2) разбив фигуру на прямоугольники.

a) 1) S = $(x+y)x - y(x-2z)$

2) S = $x^2 + 2yz$

б) 1) S = $3km - nm$

2) S = $2km + m(k-n)$

в) 1) S = $(2a+b)(2c+b) - 4ac$

2) S = $b^2 + 2ab + 2bc$

а)

1) Достроив фигуру до прямоугольника.
Для нахождения площади этим способом мысленно достроим фигуру до большого прямоугольника. Его общая ширина будет состоять из двух отрезков $x$ и $y$, но так как они не лежат на одной прямой, определим размеры внешнего прямоугольника по крайним точкам. Ширина будет равна $x$ (ширина левой части) + $y$ (длина правой части) = $x+y$. Высота будет равна сумме двух отрезков $x$, то есть $2x$. Площадь этого большого прямоугольника: $S_{большой} = (x+y) \cdot 2x = 2x^2 + 2xy$. Теперь из этой площади нужно вычесть площадь "пустого" прямоугольника, который мы добавили. Ширина этого прямоугольника равна $y$, а его высота равна общей высоте $2x$ за вычетом двух отрезков $z$. То есть, высота выреза $h_{вырез} = 2x - 2z$. Площадь выреза: $S_{вырез} = y \cdot (2x - 2z) = 2xy - 2yz$. Итоговая площадь фигуры: $S = S_{большой} - S_{вырез} = (2x^2 + 2xy) - (2xy - 2yz) = 2x^2 + 2xy - 2xy + 2yz = 2x^2 + 2yz$.
Ответ: $S = 2x^2 + 2yz$

2) Разбив фигуру на прямоугольники.
Разобьем фигуру на три прямоугольника. Первый (левый) прямоугольник имеет стороны $x$ и $2x$. Его площадь $S_1 = x \cdot 2x = 2x^2$. Два других прямоугольника (справа) одинаковы, каждый имеет стороны $y$ и $z$. Их общая площадь $S_{2,3} = 2 \cdot (y \cdot z) = 2yz$. Общая площадь фигуры равна сумме площадей этих частей: $S = S_1 + S_{2,3} = 2x^2 + 2yz$.
Ответ: $S = 2x^2 + 2yz$

б)

1) Достроив фигуру до прямоугольника.
Для этого способа предположим, что фигура вписана в большой прямоугольник. Его ширина равна $k$. Исходя из обозначений, высота состоит из трех частей: верхней перекладины, выреза и нижней перекладины. Высота каждой перекладины и выреза равна $m$. Таким образом, общая высота фигуры равна $m+m+m=3m$. Площадь большого прямоугольника: $S_{большой} = k \cdot 3m = 3km$. Из него вырезан прямоугольник, который находится справа. Ширина этого выреза равна $n$, а высота равна $m$. Площадь выреза: $S_{вырез} = n \cdot m = nm$. Итоговая площадь фигуры: $S = S_{большой} - S_{вырез} = 3km - nm = m(3k - n)$.
Ответ: $S = 3km - nm$

2) Разбив фигуру на прямоугольники.
Разобьем фигуру на три прямоугольника: верхнюю горизонтальную перекладину, нижнюю горизонтальную перекладину и левую вертикальную часть, соединяющую их. Верхняя перекладина имеет размеры $k$ на $m$. Её площадь $S_1 = km$. Нижняя перекладина имеет такие же размеры $k$ на $m$. Её площадь $S_2 = km$. Левая соединительная часть имеет высоту $m$ (высота выреза) и ширину $k-n$. Её площадь $S_3 = (k-n) \cdot m = km - nm$. Общая площадь фигуры равна сумме площадей этих частей: $S = S_1 + S_2 + S_3 = km + km + (km - nm) = 3km - nm$.
Ответ: $S = 3km - nm$

в)

1) Достроив фигуру до прямоугольника.
Достроим фигуру до большого прямоугольника. Его общая ширина, судя по верхним и нижним отрезкам, равна $a+b+b+a = 2a+2b$. Общая высота равна $c$. Площадь большого прямоугольника: $S_{большой} = (2a+2b) \cdot c = 2ac + 2bc$. Из этого прямоугольника вырезаны четыре уголка. Предположим, что вертикальный размер отступа также равен $b$. Тогда каждый вырезанный уголок является прямоугольником с шириной $a$ и высотой $b$. Площадь одного такого уголка $S_{угол} = ab$. Так как их четыре, их общая площадь $S_{вырез} = 4 \cdot ab = 4ab$. Итоговая площадь фигуры: $S = S_{большой} - S_{вырез} = (2ac + 2bc) - 4ab$.
Ответ: $S = 2ac + 2bc - 4ab$

2) Разбив фигуру на прямоугольники.
Разобьем фигуру на центральную горизонтальную полосу и две примыкающие к ней сверху и снизу части. Центральная горизонтальная полоса имеет ширину $2a+2b$. Её высота равна общей высоте $c$ за вычетом двух вертикальных отступов $b$, то есть $c-2b$. Площадь этой полосы: $S_1 = (2a+2b)(c-2b) = 2ac - 4ab + 2bc - 4b^2$. Две примыкающие части (верхняя и нижняя) одинаковы. Каждая из них представляет собой прямоугольник с шириной $2b$ и высотой $b$. Их общая площадь: $S_{2,3} = 2 \cdot (2b \cdot b) = 4b^2$. Общая площадь фигуры равна сумме площадей этих частей: $S = S_1 + S_{2,3} = (2ac - 4ab + 2bc - 4b^2) + 4b^2 = 2ac - 4ab + 2bc$.
Ответ: $S = 2ac + 2bc - 4ab$

78. В первом баке $2l$ литров бензина, а второй пустой. Из первого бака перелили $\frac{1}{2}$ бензина во второй, а затем из второго бака перелили $\frac{1}{3}$ бензина в первый. Далее из первого бака перелили $\frac{1}{4}$ бензина во второй, а затем из второго бака перелили $\frac{1}{5}$ бензина в первый и т. д.

Сколько литров бензина окажется в первом баке после пятнадцатого переливания? А после двадцатого переливания?

Для решения задачи обозначим количество бензина в первом баке после $n$-го переливания как $B1_n$, а во втором — $B2_n$. Общий объем бензина остается постоянным и равен $2l$.

Процесс переливания происходит по следующему правилу: на $n$-ом шаге переливают долю $\frac{1}{n+1}$ бензина. Если $n$ — нечетное число, переливают из первого бака во второй. Если $n$ — четное, переливают из второго бака в первый.

Проследим за изменением объема бензина в баках на первых нескольких шагах:

• Начальное состояние (n=0):
  $B1_0 = 2l$
  $B2_0 = 0$
• 1-е переливание (n=1, нечетное, из 1-го во 2-й, доля 1/2):
  Перелито: $\frac{1}{2} \cdot B1_0 = \frac{1}{2} \cdot 2l = l$.
  $B1_1 = 2l - l = l$
  $B2_1 = 0 + l = l$
• 2-е переливание (n=2, четное, из 2-го в 1-й, доля 1/3):
  Перелито: $\frac{1}{3} \cdot B2_1 = \frac{1}{3} \cdot l = \frac{l}{3}$.
  $B1_2 = l + \frac{l}{3} = \frac{4}{3}l$
  $B2_2 = l - \frac{l}{3} = \frac{2}{3}l$
• 3-е переливание (n=3, нечетное, из 1-го во 2-й, доля 1/4):
  Перелито: $\frac{1}{4} \cdot B1_2 = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{3}l = \frac{l}{3}$.
  $B1_3 = \frac{4}{3}l - \frac{l}{3} = \frac{3}{3}l = l$
  $B2_3 = \frac{2}{3}l + \frac{l}{3} = \frac{3}{3}l = l$
• 4-е переливание (n=4, четное, из 2-го в 1-й, доля 1/5):
  Перелито: $\frac{1}{5} \cdot B2_3 = \frac{1}{5} \cdot l = \frac{l}{5}$.
  $B1_4 = l + \frac{l}{5} = \frac{6}{5}l$
  $B2_4 = l - \frac{l}{5} = \frac{4}{5}l$
• 5-е переливание (n=5, нечетное, из 1-го во 2-й, доля 1/6):
  Перелито: $\frac{1}{6} \cdot B1_4 = \frac{1}{6} \cdot \frac{6}{5}l = \frac{l}{5}$.
  $B1_5 = \frac{6}{5}l - \frac{l}{5} = \frac{5}{5}l = l$
  $B2_5 = \frac{4}{5}l + \frac{l}{5} = \frac{5}{5}l = l$

Из расчетов видна закономерность: после каждого нечетного переливания (начиная с первого) количество бензина в обоих баках становится одинаковым и равным $l$.

Сколько литров бензина окажется в первом баке после пятнадцатого переливания?

Число 15 является нечетным. Как мы установили, после любого нечетного переливания $n \ge 1$ количество бензина в первом баке становится равным $l$. Следовательно, после 15-го переливания в первом баке будет $l$ литров бензина.

Ответ: $l$ литров.

А после двадцатого переливания?

Число 20 является четным. Давайте выведем общую формулу для количества бензина в первом баке после четного переливания $n$.
Мы знаем, что после предыдущего (нечетного) переливания $n-1$, объемы в баках были:
$B1_{n-1} = l$
$B2_{n-1} = l$
На $n$-ом (четном) шаге из второго бака в первый переливают долю $\frac{1}{n+1}$ от объема второго бака.
Количество перелитого бензина: $\frac{1}{n+1} \cdot B2_{n-1} = \frac{1}{n+1} \cdot l = \frac{l}{n+1}$.
Новый объем в первом баке будет:
$B1_n = B1_{n-1} + \frac{l}{n+1} = l + \frac{l}{n+1} = l(1 + \frac{1}{n+1}) = l(\frac{n+1+1}{n+1}) = l \frac{n+2}{n+1}$.
Теперь применим эту формулу для $n=20$:
$B1_{20} = l \frac{20+2}{20+1} = l \frac{22}{21} = \frac{22}{21}l$.

Ответ: $\frac{22}{21}l$ литров.