Номер 78, страница 33 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

3. Введение в алгебру - номер 78, страница 33.

Условие.

78. В первом баке $2l$ литров бензина, а второй пустой. Из первого бака перелили $\frac{1}{2}$ бензина во второй, а затем из второго бака перелили $\frac{1}{3}$ бензина в первый. Далее из первого бака перелили $\frac{1}{4}$ бензина во второй, а затем из второго бака перелили $\frac{1}{5}$ бензина в первый и т. д.

Сколько литров бензина окажется в первом баке после пятнадцатого переливания? А после двадцатого переливания?

№	Первый бак	Второй бак
0	$2l$	$0$
1	$l$	$l$
2	$l + \frac{1}{3}l = \frac{4}{3}l$	$l - \frac{1}{3}l = \frac{2}{3}l$
3
4
5
...
15
...
20

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи обозначим количество бензина в первом баке после $n$-го переливания как $B1_n$, а во втором — $B2_n$. Общий объем бензина остается постоянным и равен $2l$.

Процесс переливания происходит по следующему правилу: на $n$-ом шаге переливают долю $\frac{1}{n+1}$ бензина. Если $n$ — нечетное число, переливают из первого бака во второй. Если $n$ — четное, переливают из второго бака в первый.

Проследим за изменением объема бензина в баках на первых нескольких шагах:

• Начальное состояние (n=0):
  $B1_0 = 2l$
  $B2_0 = 0$
• 1-е переливание (n=1, нечетное, из 1-го во 2-й, доля 1/2):
  Перелито: $\frac{1}{2} \cdot B1_0 = \frac{1}{2} \cdot 2l = l$.
  $B1_1 = 2l - l = l$
  $B2_1 = 0 + l = l$
• 2-е переливание (n=2, четное, из 2-го в 1-й, доля 1/3):
  Перелито: $\frac{1}{3} \cdot B2_1 = \frac{1}{3} \cdot l = \frac{l}{3}$.
  $B1_2 = l + \frac{l}{3} = \frac{4}{3}l$
  $B2_2 = l - \frac{l}{3} = \frac{2}{3}l$
• 3-е переливание (n=3, нечетное, из 1-го во 2-й, доля 1/4):
  Перелито: $\frac{1}{4} \cdot B1_2 = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{3}l = \frac{l}{3}$.
  $B1_3 = \frac{4}{3}l - \frac{l}{3} = \frac{3}{3}l = l$
  $B2_3 = \frac{2}{3}l + \frac{l}{3} = \frac{3}{3}l = l$
• 4-е переливание (n=4, четное, из 2-го в 1-й, доля 1/5):
  Перелито: $\frac{1}{5} \cdot B2_3 = \frac{1}{5} \cdot l = \frac{l}{5}$.
  $B1_4 = l + \frac{l}{5} = \frac{6}{5}l$
  $B2_4 = l - \frac{l}{5} = \frac{4}{5}l$
• 5-е переливание (n=5, нечетное, из 1-го во 2-й, доля 1/6):
  Перелито: $\frac{1}{6} \cdot B1_4 = \frac{1}{6} \cdot \frac{6}{5}l = \frac{l}{5}$.
  $B1_5 = \frac{6}{5}l - \frac{l}{5} = \frac{5}{5}l = l$
  $B2_5 = \frac{4}{5}l + \frac{l}{5} = \frac{5}{5}l = l$

Из расчетов видна закономерность: после каждого нечетного переливания (начиная с первого) количество бензина в обоих баках становится одинаковым и равным $l$.

Сколько литров бензина окажется в первом баке после пятнадцатого переливания?

Число 15 является нечетным. Как мы установили, после любого нечетного переливания $n \ge 1$ количество бензина в первом баке становится равным $l$. Следовательно, после 15-го переливания в первом баке будет $l$ литров бензина.

Ответ: $l$ литров.

А после двадцатого переливания?

Число 20 является четным. Давайте выведем общую формулу для количества бензина в первом баке после четного переливания $n$.
Мы знаем, что после предыдущего (нечетного) переливания $n-1$, объемы в баках были:
$B1_{n-1} = l$
$B2_{n-1} = l$
На $n$-ом (четном) шаге из второго бака в первый переливают долю $\frac{1}{n+1}$ от объема второго бака.
Количество перелитого бензина: $\frac{1}{n+1} \cdot B2_{n-1} = \frac{1}{n+1} \cdot l = \frac{l}{n+1}$.
Новый объем в первом баке будет:
$B1_n = B1_{n-1} + \frac{l}{n+1} = l + \frac{l}{n+1} = l(1 + \frac{1}{n+1}) = l(\frac{n+1+1}{n+1}) = l \frac{n+2}{n+1}$.
Теперь применим эту формулу для $n=20$:
$B1_{20} = l \frac{20+2}{20+1} = l \frac{22}{21} = \frac{22}{21}l$.

Ответ: $\frac{22}{21}l$ литров.