Номер 77, страница 33 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

3. Введение в алгебру - номер 77, страница 33.

Условие.

77. Найдите площадь фигуры двумя способами: 1) достроив фигуру до прямоугольника; 2) разбив фигуру на прямоугольники.

a) 1) S = $(x+y)x - y(x-2z)$

2) S = $x^2 + 2yz$

б) 1) S = $3km - nm$

2) S = $2km + m(k-n)$

в) 1) S = $(2a+b)(2c+b) - 4ac$

2) S = $b^2 + 2ab + 2bc$

Решение.

Решение 2.

а)

1) Достроив фигуру до прямоугольника.
Для нахождения площади этим способом мысленно достроим фигуру до большого прямоугольника. Его общая ширина будет состоять из двух отрезков $x$ и $y$, но так как они не лежат на одной прямой, определим размеры внешнего прямоугольника по крайним точкам. Ширина будет равна $x$ (ширина левой части) + $y$ (длина правой части) = $x+y$. Высота будет равна сумме двух отрезков $x$, то есть $2x$. Площадь этого большого прямоугольника: $S_{большой} = (x+y) \cdot 2x = 2x^2 + 2xy$. Теперь из этой площади нужно вычесть площадь "пустого" прямоугольника, который мы добавили. Ширина этого прямоугольника равна $y$, а его высота равна общей высоте $2x$ за вычетом двух отрезков $z$. То есть, высота выреза $h_{вырез} = 2x - 2z$. Площадь выреза: $S_{вырез} = y \cdot (2x - 2z) = 2xy - 2yz$. Итоговая площадь фигуры: $S = S_{большой} - S_{вырез} = (2x^2 + 2xy) - (2xy - 2yz) = 2x^2 + 2xy - 2xy + 2yz = 2x^2 + 2yz$.
Ответ: $S = 2x^2 + 2yz$

2) Разбив фигуру на прямоугольники.
Разобьем фигуру на три прямоугольника. Первый (левый) прямоугольник имеет стороны $x$ и $2x$. Его площадь $S_1 = x \cdot 2x = 2x^2$. Два других прямоугольника (справа) одинаковы, каждый имеет стороны $y$ и $z$. Их общая площадь $S_{2,3} = 2 \cdot (y \cdot z) = 2yz$. Общая площадь фигуры равна сумме площадей этих частей: $S = S_1 + S_{2,3} = 2x^2 + 2yz$.
Ответ: $S = 2x^2 + 2yz$

б)

1) Достроив фигуру до прямоугольника.
Для этого способа предположим, что фигура вписана в большой прямоугольник. Его ширина равна $k$. Исходя из обозначений, высота состоит из трех частей: верхней перекладины, выреза и нижней перекладины. Высота каждой перекладины и выреза равна $m$. Таким образом, общая высота фигуры равна $m+m+m=3m$. Площадь большого прямоугольника: $S_{большой} = k \cdot 3m = 3km$. Из него вырезан прямоугольник, который находится справа. Ширина этого выреза равна $n$, а высота равна $m$. Площадь выреза: $S_{вырез} = n \cdot m = nm$. Итоговая площадь фигуры: $S = S_{большой} - S_{вырез} = 3km - nm = m(3k - n)$.
Ответ: $S = 3km - nm$

2) Разбив фигуру на прямоугольники.
Разобьем фигуру на три прямоугольника: верхнюю горизонтальную перекладину, нижнюю горизонтальную перекладину и левую вертикальную часть, соединяющую их. Верхняя перекладина имеет размеры $k$ на $m$. Её площадь $S_1 = km$. Нижняя перекладина имеет такие же размеры $k$ на $m$. Её площадь $S_2 = km$. Левая соединительная часть имеет высоту $m$ (высота выреза) и ширину $k-n$. Её площадь $S_3 = (k-n) \cdot m = km - nm$. Общая площадь фигуры равна сумме площадей этих частей: $S = S_1 + S_2 + S_3 = km + km + (km - nm) = 3km - nm$.
Ответ: $S = 3km - nm$

в)

1) Достроив фигуру до прямоугольника.
Достроим фигуру до большого прямоугольника. Его общая ширина, судя по верхним и нижним отрезкам, равна $a+b+b+a = 2a+2b$. Общая высота равна $c$. Площадь большого прямоугольника: $S_{большой} = (2a+2b) \cdot c = 2ac + 2bc$. Из этого прямоугольника вырезаны четыре уголка. Предположим, что вертикальный размер отступа также равен $b$. Тогда каждый вырезанный уголок является прямоугольником с шириной $a$ и высотой $b$. Площадь одного такого уголка $S_{угол} = ab$. Так как их четыре, их общая площадь $S_{вырез} = 4 \cdot ab = 4ab$. Итоговая площадь фигуры: $S = S_{большой} - S_{вырез} = (2ac + 2bc) - 4ab$.
Ответ: $S = 2ac + 2bc - 4ab$

2) Разбив фигуру на прямоугольники.
Разобьем фигуру на центральную горизонтальную полосу и две примыкающие к ней сверху и снизу части. Центральная горизонтальная полоса имеет ширину $2a+2b$. Её высота равна общей высоте $c$ за вычетом двух вертикальных отступов $b$, то есть $c-2b$. Площадь этой полосы: $S_1 = (2a+2b)(c-2b) = 2ac - 4ab + 2bc - 4b^2$. Две примыкающие части (верхняя и нижняя) одинаковы. Каждая из них представляет собой прямоугольник с шириной $2b$ и высотой $b$. Их общая площадь: $S_{2,3} = 2 \cdot (2b \cdot b) = 4b^2$. Общая площадь фигуры равна сумме площадей этих частей: $S = S_1 + S_{2,3} = (2ac - 4ab + 2bc - 4b^2) + 4b^2 = 2ac - 4ab + 2bc$.
Ответ: $S = 2ac + 2bc - 4ab$