Номер 70, страница 31 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

3. Введение в алгебру - номер 70, страница 31.

Условие.

70. Расставьте знаки «+» и «-» так, чтобы равенство было верным.

$x ... (-x) ... y ... (-y) ... (-y) = y$

$(-b) ... c ... c ... b ... (-c) ... (-c) = 2c$

$b ... a ... b ... a ... b ... (-a) ... (-b) ... a ... a = 3a - 2b$

Решение.

Решение 2.

$x \, ... \, (-x) \, ... \, y \, ... \, (-y) \, ... \, (-y) = y$

Чтобы равенство было верным, необходимо правильно расставить знаки «+» и «−». В правой части равенства находится переменная $y$, а в левой части присутствуют как $x$, так и $y$. Это означает, что все члены, содержащие $x$, должны в сумме дать ноль. Чтобы взаимно уничтожить слагаемые $x$ и $(-x)$, нужно их сложить: $x + (-x) = x - x = 0$. После этого исходное выражение упрощается до $0 \, ... \, y \, ... \, (-y) \, ... \, (-y) = y$. Теперь нам нужно из оставшихся слагаемых $y$, $(-y)$ и $(-y)$ получить в результате $y$. Этого можно достичь следующей комбинацией знаков: $y + (-y) - (-y) = y - y + y = y$. Объединив все найденные знаки, получаем полное выражение. Проведем проверку: $x + (-x) + y + (-y) - (-y) = x - x + y - y + y = 0 + 0 + y = y$. Равенство $y=y$ является верным.

Ответ: $x + (-x) + y + (-y) - (-y) = y$.

$(-b) \, ... \, c \, ... \, c \, ... \, b \, ... \, (-c) \, ... \, (-c) = 2c$

В данном равенстве в правой части стоит выражение $2c$. В левой части находятся слагаемые с переменными $b$ и $c$. Логично предположить, что слагаемые с переменной $b$, а именно $(-b)$ и $b$, должны взаимно уничтожиться. Для этого их нужно сложить: $(-b) + b = 0$. Теперь разберемся со слагаемыми, содержащими $c$: $c$, $c$, $(-c)$, $(-c)$. Нам нужно получить из них $2c$. Это возможно, например, так: $c + c + (-c) - (-c) = c + c - c + c = 2c$. Теперь расставим знаки в исходном выражении в соответствии с этой логикой. Получаем: $(-b) + c + c + b + (-c) - (-c) = 2c$. Выполним проверку, упростив левую часть: $-b + c + c + b - c + c = (-b + b) + (c + c - c + c) = 0 + 2c = 2c$. Равенство $2c=2c$ является верным.

Ответ: $(-b) + c + c + b + (-c) - (-c) = 2c$.

$b \, ... \, a \, ... \, b \, ... \, a \, ... \, b \, ... \, (-a) \, ... \, (-b) \, ... \, a \, ... \, a = 3a - 2b$

Цель — получить в левой части выражение $3a - 2b$. Сгруппируем слагаемые по переменным.
Слагаемые с переменной $a$: $a, a, (-a), a, a$.
Слагаемые с переменной $b$: $b, b, b, (-b)$.
Рассмотрим, как можно получить коэффициент $-2$ для переменной $b$. Сумма коэффициентов при слагаемых с $b$ должна быть равна $-2$. Первое слагаемое $b$ имеет знак «+». Обозначим знаки перед остальными слагаемыми с $b$ (это $b$, $b$ и $(-b)$) как $s_1, s_2, s_3$. Тогда $1 + s_1 + s_2 + s_3 \cdot (-1) = -2$. Единственная комбинация знаков, удовлетворяющая этому условию, это $s_1=-1, s_2=-1, s_3=+1$. Тогда $1-1-1-1 = -2$. Это значит, что перед вторым и третьим $b$ должен стоять «−», а перед $(-b)$ — «+».
Теперь рассмотрим слагаемые с переменной $a$. Сумма их коэффициентов должна быть равна $3$. Обозначим знаки перед слагаемыми $a, a, (-a), a, a$ как $k_1, k_2, k_3, k_4, k_5$ (относительно первого слагаемого $b$). Мы ищем знаки между ними. Пусть знак перед первым $a$ будет $k_1$. Тогда $k_1 \cdot 1 + k_2 \cdot 1 + k_3 \cdot (-1) + k_4 \cdot 1 + k_5 \cdot 1 = 3$. Если предположить, что все знаки — плюсы, получим $1+1-1+1+1 = 3$. Это означает, что между всеми слагаемыми, где появляется $a$, нужно поставить знак «+».
Собираем итоговое выражение: $b + a - b + a - b + (-a) + (-b) + a + a$.
Проверим его: сгруппируем слагаемые с $a$ и с $b$.
Сумма слагаемых с $a$: $a + a - a + a + a = 3a$.
Сумма слагаемых с $b$: $b - b - b - b = -2b$.
Общая сумма: $3a - 2b$. Равенство верно.

Ответ: $b + a - b + a - b + (-a) + (-b) + a + a = 3a - 2b$.