Страница 26 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

54. а) Отметьте на отрезке AB точку K так, чтобы $\frac{AB}{BK} = 3$, и точку M так, чтобы $\frac{AM}{MB} = \frac{1}{4}$.

б) Отметьте на прямой AB точку C так, чтобы $\frac{AC}{AB} = 2$. Сколько таких точек можно отметить?

Чтобы отметить на отрезке AB точку K, нужно выполнить условие $\frac{AB}{BK} = 3$. Это равенство показывает, что длина отрезка AB в 3 раза больше длины отрезка BK. Мы можем записать это как $AB = 3 \cdot BK$.

Поскольку точка K находится на отрезке AB, справедливо равенство $AB = AK + KB$. Заменим AB на $3 \cdot BK$:

$3 \cdot BK = AK + KB$

Перенеся $KB$ в левую часть, получим:

$2 \cdot BK = AK$

Это значит, что точка K делит отрезок AB в отношении $AK : KB = 2 : 1$. Следовательно, чтобы отметить точку K, нужно разделить отрезок AB на $2+1=3$ равные части. Точка K будет расположена на границе второй и третьей части, если считать от точки A.

Чтобы отметить на отрезке AB точку M, нужно выполнить условие $\frac{AM}{MB} = \frac{1}{4}$.

Это отношение означает, что точка M делит отрезок AB на части AM и MB, которые относятся друг к другу как 1 к 4. Таким образом, весь отрезок AB можно разделить на $1+4=5$ равных частей. Длина отрезка AM будет равна одной такой части, а длина MB — четырем таким частям. Чтобы отметить точку M, нужно разделить отрезок AB на 5 равных частей и отложить от точки A одну такую часть в направлении точки B.

Ответ: Точку K следует отметить так, чтобы она делила отрезок AB в отношении $AK:KB=2:1$. Точку M следует отметить так, чтобы она делила отрезок AB в отношении $AM:MB=1:4$.

Требуется отметить на прямой AB точку C так, чтобы выполнялось условие $\frac{AC}{AB} = 2$. Из этого условия следует, что длина отрезка AC должна быть в два раза больше длины отрезка AB, то есть $AC = 2 \cdot AB$.

Так как точка C должна лежать на прямой AB, а не на отрезке, существуют два возможных расположения для точки C:

1. Точка C находится на прямой за точкой B (если смотреть от A). В этом случае точки расположены в последовательности A — B — C. Расстояние AC будет суммой расстояний AB и BC. $AC = AB + BC$. Подставим в это выражение наше условие $AC = 2 \cdot AB$: $2 \cdot AB = AB + BC$ $BC = AB$ Это означает, что точка C расположена на прямой так, что точка B является серединой отрезка AC.

2. Точка C находится на прямой по другую сторону от точки A относительно точки B. В этом случае точки расположены в последовательности C — A — B. Расстояние от A до C по-прежнему должно быть $AC = 2 \cdot AB$. В этом случае точка C будет лежать на прямой "левее" точки A на расстоянии, равном удвоенной длине отрезка AB.

Таким образом, мы нашли два различных положения для точки C, которые удовлетворяют заданному условию.

Ответ: Можно отметить 2 такие точки.

55. Первую часть маршрута туристы проплыли на байдарках, а вторую прошли пешком. Заполните таблицу.

Отношение 1-й части маршрута ко 2-й части

Весь маршрут, км

Проплыли на байдарках, км

Прошли пешком, км

$2 : 1$, 60, ,

$3 : 2$, 40, ,

$3 : 1$, , 27,

, , 45, 36

, 35, , 20

Для решения задачи необходимо заполнить пустые ячейки в таблице, используя предоставленные данные в каждой строке. 1-я часть маршрута — это расстояние, которое проплыли на байдарках, а 2-я часть — расстояние, которое прошли пешком.

Для отношения 2 : 1 и всего маршрута 60 км:

Отношение расстояния на байдарках к расстоянию пешком составляет 2:1. Это означает, что весь маршрут можно разделить на $2 + 1 = 3$ равные части.

Найдем, сколько километров составляет одна часть маршрута:
$60 \text{ км} / 3 = 20 \text{ км}$.

Расстояние, которое туристы проплыли на байдарках (2 части):
$2 \times 20 \text{ км} = 40 \text{ км}$.

Расстояние, которое туристы прошли пешком (1 часть):
$1 \times 20 \text{ км} = 20 \text{ км}$.

Ответ: проплыли на байдарках 40 км, прошли пешком 20 км.

Для отношения 3 : 2 и всего маршрута 40 км:

Отношение 3:2 означает, что весь маршрут состоит из $3 + 2 = 5$ равных частей.

Длина одной части маршрута:
$40 \text{ км} / 5 = 8 \text{ км}$.

Расстояние на байдарках (3 части):
$3 \times 8 \text{ км} = 24 \text{ км}$.

Расстояние пешком (2 части):
$2 \times 8 \text{ км} = 16 \text{ км}$.

Ответ: проплыли на байдарках 24 км, прошли пешком 16 км.

Для отношения 3 : 1 и расстояния на байдарках 27 км:

Отношение 3:1 показывает, что расстояние на байдарках в 3 раза больше расстояния пешком. На байдарках проплыли 27 км, что соответствует 3 частям.

Найдем расстояние, пройденное пешком (1 часть):
$27 \text{ км} / 3 = 9 \text{ км}$.

Найдем общую длину всего маршрута, сложив обе части:
$27 \text{ км} + 9 \text{ км} = 36 \text{ км}$.

Ответ: весь маршрут 36 км, прошли пешком 9 км.

Для расстояния на байдарках 45 км и пешком 36 км:

Найдем общую длину всего маршрута:
$45 \text{ км} + 36 \text{ км} = 81 \text{ км}$.

Найдем отношение расстояния на байдарках к расстоянию пешком: $45 : 36$. Для упрощения найдем наибольший общий делитель (НОД) чисел 45 и 36, который равен 9.

Разделим обе части отношения на НОД:
$45 \div 9 = 5$
$36 \div 9 = 4$

Следовательно, отношение равно $5 : 4$.

Ответ: отношение 1-й части ко 2-й равно 5 : 4, весь маршрут 81 км.

Для расстояния на байдарках 35 км и пешком 20 км:

Найдем общую длину всего маршрута:
$35 \text{ км} + 20 \text{ км} = 55 \text{ км}$.

Найдем отношение расстояния на байдарках к расстоянию пешком: $35 : 20$. Найдем НОД чисел 35 и 20, который равен 5.

Разделим обе части отношения на НОД:
$35 \div 5 = 7$
$20 \div 5 = 4$

Искомое отношение равно $7 : 4$.

Ответ: отношение 1-й части ко 2-й равно 7 : 4, весь маршрут 55 км.

Заполненная таблица:

56. Замените отношение $\frac{1}{15} : \frac{1}{3} : \frac{1}{5}$ отношением целых чисел.

А. 15 : 3 : 5

Б. 15 : 5 : 3

В. 3 : 5 : 1

Г. 1 : 5 : 3

56. Чтобы заменить отношение, состоящее из дробей, на отношение целых чисел, необходимо каждый член исходного отношения умножить на одно и то же число. Этим числом должен быть общий знаменатель дробей. Наиболее удобным является наименьший общий знаменатель, который равен наименьшему общему кратному (НОК) знаменателей.

В данном случае мы имеем отношение: $\frac{1}{15} : \frac{1}{3} : \frac{1}{5}$.

Знаменатели дробей равны 15, 3 и 5. Найдем их наименьшее общее кратное: $НОК(15, 3, 5)$.

Поскольку 15 делится нацело и на 3 ($15 \div 3 = 5$), и на 5 ($15 \div 5 = 3$), и на 15 ($15 \div 15 = 1$), то $НОК(15, 3, 5) = 15$.

Теперь умножим каждый член отношения на 15:

$(\frac{1}{15} \cdot 15) : (\frac{1}{3} \cdot 15) : (\frac{1}{5} \cdot 15)$

Выполним вычисления для каждого члена:

$\frac{1 \cdot 15}{15} : \frac{1 \cdot 15}{3} : \frac{1 \cdot 15}{5}$

$1 : 5 : 3$

Таким образом, отношение $\frac{1}{15} : \frac{1}{3} : \frac{1}{5}$ эквивалентно отношению целых чисел $1 : 5 : 3$. Этот результат соответствует варианту Г.

Ответ: Г. $1 : 5 : 3$