Страница 36 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

Текст задачи

81. Определите длительность рекламы, если известно, что она короче кинофильма на 90 мин, а кинофильм длиннее рекламы в 10 раз.

Перевод на язык математики

Длительность:

рекламы $x$ мин

кинофильма $(x + 90)$ мин

или $10x$ мин

$x + 90 = 10x$

Для решения этой задачи необходимо составить и решить линейное уравнение с одной переменной. Следуя информации из условия, обозначим длительность рекламы через неизвестную переменную.

Решение

1. Введение переменной.
Пусть длительность рекламы составляет $x$ минут.

2. Составление выражений для длительности кинофильма.
В задаче даны два условия, связывающие длительность рекламы и кинофильма:

• Реклама короче кинофильма на 90 минут. Это означает, что кинофильм длиннее рекламы на 90 минут. Следовательно, длительность кинофильма можно выразить как $(x + 90)$ минут.
• Кинофильм длиннее рекламы в 10 раз. Следовательно, длительность кинофильма также можно выразить как $10x$ минут.

3. Составление и решение уравнения.
Поскольку оба выражения, $(x + 90)$ и $10x$, описывают одну и ту же величину (длительность кинофильма), мы можем их приравнять:
$x + 90 = 10x$

Для решения уравнения перенесем все слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числовые значения — в другую. Вычтем $x$ из обеих частей уравнения:
$90 = 10x - x$

Упростим правую часть:
$90 = 9x$

Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 9:
$x = \frac{90}{9}$
$x = 10$

Таким образом, длительность рекламы составляет 10 минут.

4. Проверка.
Если длительность рекламы равна 10 минут, то длительность кинофильма:

• По первому условию: $10 + 90 = 100$ минут.
• По второму условию: $10 \times 10 = 100$ минут.

Результаты совпадают, значит, задача решена верно.

Ответ: длительность рекламы составляет 10 минут.

82. Найдите длину пути от озера до реки по туристской тропе, если известно, что тропа втрое короче пути по шоссе, а путь по шоссе на 8 км длиннее пути по тропе.

Длина пути:

по тропе ................

по шоссе ................

или ................

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть длина пути по туристской тропе равна $x$ км. Из условия известно, что тропа втрое короче пути по шоссе. Это означает, что длина пути по шоссе в 3 раза больше и равна $3x$ км. Также дано, что путь по шоссе на 8 км длиннее пути по тропе. Мы можем составить уравнение, выражающее эту разницу:

$3x - x = 8$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$:

$2x = 8$

$x = \frac{8}{2}$

$x = 4$

Мы нашли длину пути по тропе. Теперь мы можем вычислить длину пути по шоссе и записать итоговые ответы.

по тропе
Длина пути по тропе равна $x$. Таким образом, ее длина составляет 4 км.
Ответ: 4 км.

по шоссе
Длина пути по шоссе равна $3x$. Подставив найденное значение $x$, получаем: $3 \cdot 4 = 12$ км.
Ответ: 12 км.

83. Саша решал задачу:

В трех классах 75 учащихся. В классе А на 5 учащихся меньше, чем в классе Б, в классе В учащихся в 1,5 раза больше, чем в классе А. Сколько учащихся в каждом классе?

Саша составил по условию задачи три разных уравнения, а затем стер с доски то, что в каждом случае было принято за x. Восстановите текст:

$x + (x - 5) + 1,5(x - 5) = 75$, где x ....................

$x + (x + 5) + 1,5x = 75$, где x ....................

$x + \frac{x}{1,5} + \left(\frac{x}{1,5} + 5\right) = 75$, где x ....................

Сначала решим задачу, чтобы найти количество учащихся в каждом классе.

Решение задачи

Пусть $x$ — это количество учащихся в классе Б.
Согласно условию, в классе А на 5 учащихся меньше, чем в классе Б, следовательно, в классе А $(x - 5)$ учащихся.
В классе В в 1,5 раза больше учащихся, чем в классе А, следовательно, в классе В $1,5 \cdot (x - 5)$ учащихся.
Всего в трех классах 75 учащихся. Составим и решим уравнение, сложив количество учащихся во всех трех классах:

$(x - 5) + x + 1,5(x - 5) = 75$
$x - 5 + x + 1,5x - 7,5 = 75$
$3,5x - 12,5 = 75$
$3,5x = 75 + 12,5$
$3,5x = 87,5$
$x = \frac{87,5}{3,5}$
$x = 25$

Таким образом, в классе Б 25 учащихся. Теперь найдем количество учащихся в остальных классах:
• В классе А: $25 - 5 = 20$ учащихся.
• В классе В: $1,5 \cdot 20 = 30$ учащихся.

Проверим: $20 + 25 + 30 = 75$. Условие выполняется.

Ответ: в классе А — 20 учащихся, в классе Б — 25 учащихся, в классе В — 30 учащихся.

Теперь восстановим, что Саша принимал за $x$ в каждом из трех уравнений.

$x + (x - 5) + 1,5(x - 5) = 75$, где x ...

Проанализируем слагаемые в уравнении:
• Если $x$ — это количество учащихся в классе Б.
• Тогда $(x - 5)$ — это количество учащихся в классе А (на 5 меньше, чем в Б).
• А $1,5(x - 5)$ — это количество учащихся в классе В (в 1,5 раза больше, чем в А).
Сумма этих трех величин равна 75. Это соответствует условию задачи (слагаемые для классов А и Б просто поменяны местами).
Ответ: $x$ — количество учащихся в классе Б.

$x + (x + 5) + 1,5x = 75$, где x ...

Проанализируем слагаемые в уравнении:
• Если $x$ — это количество учащихся в классе А.
• Тогда $(x + 5)$ — это количество учащихся в классе Б (в классе А на 5 меньше, чем в Б, значит в Б на 5 больше, чем в А).
• А $1,5x$ — это количество учащихся в классе В (в 1,5 раза больше, чем в А).
Сумма этих трех величин равна 75. Это соответствует условию задачи.
Ответ: $x$ — количество учащихся в классе А.

$x + \frac{x}{1,5} + \left(\frac{x}{1,5} + 5\right) = 75$, где x ...

Проанализируем слагаемые в уравнении:
• Если $x$ — это количество учащихся в классе В.
• Тогда $\frac{x}{1,5}$ — это количество учащихся в классе А (в классе В в 1,5 раза больше, чем в А, значит в А в 1,5 раза меньше, чем в В).
• А $\left(\frac{x}{1,5} + 5\right)$ — это количество учащихся в классе Б (на 5 больше, чем в А).
Сумма этих трех величин равна 75. Это соответствует условию задачи.
Ответ: $x$ — количество учащихся в классе В.

84. Является ли число -3 корнем уравнения?

а) $x^3 - 1 = -26$ $(-3)^3 - 1 = -27 - 1 = -28 \neq -26$
Ответ: не является.

б) $3x^2 - x = 30$ ...............
Ответ: ....................

в) $4 + 2x = x + 1$ ...............
Ответ: ....................

г) $|x| = 3$ ...............
Ответ: ....................

д) $x^2 + 9 = 0$ ...............
Ответ: ....................

Чтобы определить, является ли число $-3$ корнем уравнения, нужно подставить это значение вместо $x$ в каждое уравнение и проверить, выполняется ли равенство.

а) $x^3 - 1 = -26$

Подставляем $x = -3$ в левую часть уравнения:
$(-3)^3 - 1 = -27 - 1 = -28$.
Сравниваем полученный результат с правой частью уравнения: $-28 \neq -26$.
Равенство не выполняется, следовательно, число $-3$ не является корнем этого уравнения.
Ответ: не является.

б) $3x^2 - x = 30$

Подставляем $x = -3$ в левую часть уравнения:
$3 \cdot (-3)^2 - (-3) = 3 \cdot 9 + 3 = 27 + 3 = 30$.
Сравниваем полученный результат с правой частью уравнения: $30 = 30$.
Равенство выполняется, следовательно, число $-3$ является корнем этого уравнения.
Ответ: является.

в) $4 + 2x = x + 1$

Подставляем $x = -3$ в обе части уравнения.
Левая часть: $4 + 2 \cdot (-3) = 4 - 6 = -2$.
Правая часть: $-3 + 1 = -2$.
Левая часть равна правой: $-2 = -2$.
Равенство выполняется, следовательно, число $-3$ является корнем этого уравнения.
Ответ: является.

г) $|x| = 3$

Подставляем $x = -3$ в левую часть уравнения:
$|-3| = 3$.
Сравниваем полученный результат с правой частью уравнения: $3 = 3$.
Равенство выполняется, следовательно, число $-3$ является корнем этого уравнения.
Ответ: является.

д) $x^2 + 9 = 0$

Подставляем $x = -3$ в левую часть уравнения:
$(-3)^2 + 9 = 9 + 9 = 18$.
Сравниваем полученный результат с правой частью уравнения: $18 \neq 0$.
Равенство не выполняется, следовательно, число $-3$ не является корнем этого уравнения.
Ответ: не является.