Номер 11, страница 46, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

10. Медиана как статистическая характеристика. Глава І. Выражения, тождества, уравнения. Часть 1 - номер 11, страница 46.

Условие.

11. В упорядоченном ряду данных, состоящем из 10 чисел, наименьшее число уменьшили на 2. Изменится ли при этом и как:

а) среднее арифметическое;

б) размах;

в) мода;

г) медиана?

Решение.

Решение 2.

Пусть исходный упорядоченный ряд данных состоит из 10 чисел: $x_1, x_2, \dots, x_{10}$, где $x_1 \le x_2 \le \dots \le x_{10}$. Наименьшее число в этом ряду — $x_1$. По условию задачи, его уменьшили на 2. Новый ряд данных будет выглядеть так: $(x_1 - 2), x_2, \dots, x_{10}$. Поскольку $x_1$ было наименьшим числом, то $x_1 \le x_2$. Следовательно, $x_1 - 2 < x_1 \le x_2$, и новый ряд также останется упорядоченным. Рассмотрим, как это изменение повлияет на каждую из статистических характеристик.

а) среднее арифметическое

Среднее арифметическое — это сумма всех чисел ряда, деленная на их количество. Изначальное среднее арифметическое: $\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_{10}}{10}$. Сумма чисел в исходном ряду равна $\sum_{i=1}^{10} x_i$. В новом ряду одно число ($x_1$) стало на 2 меньше, а остальные не изменились. Значит, сумма всех чисел нового ряда уменьшилась на 2 и стала равна $(\sum_{i=1}^{10} x_i) - 2$. Новое среднее арифметическое: $\bar{x'} = \frac{(x_1 - 2) + x_2 + \dots + x_{10}}{10} = \frac{(\sum_{i=1}^{10} x_i) - 2}{10} = \frac{\sum_{i=1}^{10} x_i}{10} - \frac{2}{10} = \bar{x} - 0.2$. Таким образом, среднее арифметическое уменьшится. Ответ: Да, среднее арифметическое уменьшится на 0.2.

б) размах

Размах ряда данных — это разность между наибольшим и наименьшим его членами. Изначальный размах: $R = x_{10} - x_1$. В новом ряду наименьшее число — это $(x_1 - 2)$, а наибольшее число осталось прежним — $x_{10}$. Новый размах: $R' = x_{10} - (x_1 - 2) = x_{10} - x_1 + 2 = R + 2$. Таким образом, размах увеличится. Ответ: Да, размах увеличится на 2.

в) мода

Мода — это значение в ряду данных, которое встречается чаще всего. Изменение наименьшего числа может как изменить моду, так и не повлиять на нее. Например, если наименьшее число $x_1$ не было модой и не было равно моде (то есть встречалось реже, чем мода), то мода не изменится. Рассмотрим ряд $\{1, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$, где мода равна 5. Новый ряд будет $\{-1, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$, и мода останется равной 5. Однако, если наименьшее число $x_1$ было модой, то мода, скорее всего, изменится. Для ряда $\{1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ мода равна 1. Новый ряд: $\{-1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. В нем все числа встречаются по одному разу, и моды нет. Поскольку результат зависит от конкретных чисел в исходном ряду, однозначно определить изменение моды нельзя. Ответ: Мода может измениться, а может и не измениться. Это зависит от исходного набора чисел.

г) медиана

Медиана — это число, которое находится в середине упорядоченного ряда данных. В нашем ряду 10 чисел (четное количество), поэтому медиана равна среднему арифметическому двух центральных чисел. В упорядоченном ряду $x_1, x_2, \dots, x_{10}$ центральными являются пятое ($x_5$) и шестое ($x_6$) числа. Изначальная медиана: $M_e = \frac{x_5 + x_6}{2}$. В новом упорядоченном ряду $(x_1 - 2), x_2, \dots, x_{10}$ пятое и шестое числа остались теми же: $x_5$ и $x_6$. Новая медиана: $M'_e = \frac{x_5 + x_6}{2}$. Следовательно, $M'_e = M_e$. Медиана не изменится. Ответ: Нет, медиана не изменится.