Номер 12, страница 50, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

11. Что такое функция. Глава ІІ. Функции. Часть 1 - номер 12, страница 50.

Условие.

12. Функция задана таблицей:

x: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

y: 0, 3, 8, 15, 24, 35, 48, 63, 80

Подберите формулу, которой можно задать эту функцию.

Решение 2.

Для того чтобы подобрать формулу, которой задана функция, проанализируем взаимосвязь между значениями x и y, представленными в таблице.

Способ 1: Поиск закономерности через сравнение

Заметим, что значения y близки к значениям $x^2$. Сравним их для нескольких первых пар:

• При $x = 1$, $x^2 = 1^2 = 1$. Значение $y = 0$, что на 1 меньше, чем $x^2$. То есть $y = x^2 - 1$.
• При $x = 2$, $x^2 = 2^2 = 4$. Значение $y = 3$, что на 1 меньше, чем $x^2$. То есть $y = x^2 - 1$.
• При $x = 3$, $x^2 = 3^2 = 9$. Значение $y = 8$, что на 1 меньше, чем $x^2$. То есть $y = x^2 - 1$.

Проверим эту закономерность для остальных значений в таблице:

• При $x = 4$: $4^2 - 1 = 16 - 1 = 15$. Верно.
• При $x = 5$: $5^2 - 1 = 25 - 1 = 24$. Верно.
• При $x = 6$: $6^2 - 1 = 36 - 1 = 35$. Верно.
• При $x = 7$: $7^2 - 1 = 49 - 1 = 48$. Верно.
• При $x = 8$: $8^2 - 1 = 64 - 1 = 63$. Верно.
• При $x = 9$: $9^2 - 1 = 81 - 1 = 80$. Верно.

Так как формула $y = x^2 - 1$ подходит для всех пар значений из таблицы, она является искомой.

Способ 2: Метод конечных разностей

Этот метод позволяет определить вид полиномиальной функции. Сначала найдем разности между соседними значениями y (первые разности, $\Delta y$):

$3-0=3; \quad 8-3=5; \quad 15-8=7; \quad 24-15=9; \quad \dots$

Получаем последовательность первых разностей: $3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17$.

Теперь найдем разности между членами этой новой последовательности (вторые разности, $\Delta^2 y$):

$5-3=2; \quad 7-5=2; \quad 9-7=2; \quad \dots$

Вторые разности постоянны и равны 2. Это означает, что функция является квадратичной и имеет вид $y = ax^2 + bx + c$. Коэффициент $a$ равен половине второй разности: $a = \frac{\Delta^2 y}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Таким образом, функция имеет вид $y = x^2 + bx + c$. Чтобы найти коэффициенты b и c, подставим в это уравнение координаты двух любых точек из таблицы, например, $(1, 0)$ и $(2, 3)$.

Для точки $(1, 0)$: $0 = 1^2 + b \cdot 1 + c \Rightarrow b + c = -1$.

Для точки $(2, 3)$: $3 = 2^2 + b \cdot 2 + c \Rightarrow 3 = 4 + 2b + c \Rightarrow 2b + c = -1$.

Получаем систему уравнений: $\begin{cases} b + c = -1 \\ 2b + c = -1 \end{cases}$

Вычитая первое уравнение из второго, находим: $(2b+c) - (b+c) = -1 - (-1) \Rightarrow b = 0$.

Подставив $b=0$ в первое уравнение, получаем $c = -1$.

Таким образом, формула функции: $y = 1 \cdot x^2 + 0 \cdot x - 1$, что упрощается до $y = x^2 - 1$.

Ответ: $y = x^2 - 1$