Номер 6, страница 66, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Вопросы для самопроверки. Параграф 11. Взаимное расположение графиков линейных функций. Глава 2. Линейная функция. Часть 1 - номер 6, страница 66.

Условие.

6. Сформулируйте теорему о взаимном расположении графиков линейных функций.

Решение 1.

Решение 8.

Теорема о взаимном расположении графиков двух линейных функций, заданных уравнениями $y_1 = k_1x + b_1$ и $y_2 = k_2x + b_2$, устанавливает связь между значениями их коэффициентов ($k_1$, $b_1$, $k_2$, $b_2$) и геометрическим расположением прямых на координатной плоскости.

Графиком линейной функции является прямая. Две прямые на плоскости могут пересекаться, быть параллельными или совпадать. Теорема формулирует условия для каждого из этих случаев.

1. Графики функций пересекаются

Две прямые пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты ($k$) различны. Значения свободных членов ($b$) при этом могут быть любыми.

Условие: $k_1 \neq k_2$.

Объяснение: Угловой коэффициент $k$ определяет угол наклона прямой к оси абсцисс. Если углы наклона двух прямых различны, они неминуемо пересекутся в одной точке. Чтобы найти координаты этой точки, необходимо решить систему уравнений:

$y = k_1x + b_1$

$y = k_2x + b_2$

Приравняв правые части, получаем уравнение относительно $x$: $k_1x + b_1 = k_2x + b_2$.

Перенесем члены с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую: $k_1x - k_2x = b_2 - b_1$, что можно записать как $(k_1 - k_2)x = b_2 - b_1$.

Так как по условию $k_1 \neq k_2$, то $k_1 - k_2 \neq 0$. Следовательно, уравнение имеет единственное решение: $x = \frac{b_2 - b_1}{k_1 - k_2}$.

Подставив это уникальное значение $x$ в любое из исходных уравнений, мы найдем единственное значение $y$. Таким образом, система имеет единственное решение, что соответствует одной точке пересечения графиков.

2. Графики функций параллельны

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны, а свободные члены — различны.

Условие: $k_1 = k_2$ и $b_1 \neq b_2$.

Объяснение: Равенство угловых коэффициентов ($k_1 = k_2$) означает, что прямые имеют одинаковый угол наклона к оси $x$. Различие свободных членов ($b_1 \neq b_2$) означает, что прямые пересекают ось ординат ($y$) в разных точках. Прямые с одинаковым наклоном, проходящие через разные точки на оси $y$, никогда не пересекутся, то есть они параллельны. Если мы попытаемся решить систему уравнений для этого случая, то после приравнивания правых частей ($k_1x + b_1 = k_2x + b_2$) и учета того, что $k_1 = k_2$, мы получим неверное равенство $b_1 = b_2$. Это означает, что система уравнений не имеет решений, и у прямых нет общих точек.

3. Графики функций совпадают

Две прямые совпадают тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны и их свободные члены также равны.

Условие: $k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$.

Объяснение: Если и угловые коэффициенты, и свободные члены у двух линейных функций совпадают, то их уравнения $y_1 = k_1x + b_1$ и $y_2 = k_2x + b_2$ становятся полностью идентичными. Это означает, что оба уравнения описывают одну и ту же прямую. В этом случае графики функций совпадают, и они имеют бесконечное множество общих точек. Любое решение одного уравнения является решением и другого.

Ответ:

Теорема о взаимном расположении графиков двух линейных функций $y_1 = k_1x + b_1$ и $y_2 = k_2x + b_2$ формулируется следующим образом:

• Если угловые коэффициенты различны ($k_1 \neq k_2$), то графики функций (прямые) пересекаются в одной точке.
• Если угловые коэффициенты равны, а свободные члены различны ($k_1 = k_2$, $b_1 \neq b_2$), то графики функций параллельны.
• Если и угловые коэффициенты, и свободные члены равны ($k_1 = k_2$, $b_1 = b_2$), то графики функций совпадают.