Номер 16, страница 7 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

16. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} \frac{1}{2}x - \frac{1}{3}y = 1, \\ 3x - 5y = -3; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} \frac{1}{4}x - y = -5, \\ \frac{1}{2}x - \frac{1}{7}y = 3; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} 3x - 2y = \frac{1}{2}, \\ 4y - x = \frac{2}{3}; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} 2x - 3y = -1, \\ \frac{y}{x} = 0,75. \end{cases} $

1) Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{1}{2}x - \frac{1}{3}y = 1, \\ 3x - 5y = -3; \end{cases} $

Для удобства избавимся от дробей в первом уравнении. Умножим обе части первого уравнения на 6 (наименьшее общее кратное для 2 и 3):

$6 \cdot (\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}y) = 6 \cdot 1$

$3x - 2y = 6$

Теперь система выглядит так:

$ \begin{cases} 3x - 2y = 6, \\ 3x - 5y = -3; \end{cases} $

Вычтем второе уравнение из первого:

$(3x - 2y) - (3x - 5y) = 6 - (-3)$

$3x - 2y - 3x + 5y = 6 + 3$

$3y = 9$

$y = 3$

Подставим найденное значение $y=3$ в любое из уравнений, например, в $3x - 2y = 6$:

$3x - 2 \cdot 3 = 6$

$3x - 6 = 6$

$3x = 12$

$x = 4$

Решение системы: $(4; 3)$.

Ответ: $(4; 3)$

2) Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{1}{4}x - y = -5, \\ \frac{1}{2}x - \frac{1}{7}y = 3; \end{cases} $

Умножим первое уравнение на 4, а второе на 14 (наименьшее общее кратное для 2 и 7), чтобы избавиться от дробей:

$4 \cdot (\frac{1}{4}x - y) = 4 \cdot (-5) \implies x - 4y = -20$

$14 \cdot (\frac{1}{2}x - \frac{1}{7}y) = 14 \cdot 3 \implies 7x - 2y = 42$

Получили новую систему:

$ \begin{cases} x - 4y = -20, \\ 7x - 2y = 42; \end{cases} $

Выразим $x$ из первого уравнения: $x = 4y - 20$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$7(4y - 20) - 2y = 42$

$28y - 140 - 2y = 42$

$26y = 182$

$y = \frac{182}{26}$

$y = 7$

Теперь найдем $x$, подставив значение $y=7$ в выражение $x = 4y - 20$:

$x = 4 \cdot 7 - 20$

$x = 28 - 20$

$x = 8$

Решение системы: $(8; 7)$.

Ответ: $(8; 7)$

3) Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} 3x - 2y = \frac{1}{2}, \\ 4y - x = \frac{2}{3}; \end{cases} $

Перепишем второе уравнение для удобства: $-x + 4y = \frac{2}{3}$.

Выразим $x$ из второго уравнения: $x = 4y - \frac{2}{3}$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$3(4y - \frac{2}{3}) - 2y = \frac{1}{2}$

$12y - 3 \cdot \frac{2}{3} - 2y = \frac{1}{2}$

$12y - 2 - 2y = \frac{1}{2}$

$10y = \frac{1}{2} + 2$

$10y = \frac{1}{2} + \frac{4}{2}$

$10y = \frac{5}{2}$

$y = \frac{5}{2 \cdot 10} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$

Теперь найдем $x$, подставив $y = \frac{1}{4}$ в выражение $x = 4y - \frac{2}{3}$:

$x = 4 \cdot \frac{1}{4} - \frac{2}{3}$

$x = 1 - \frac{2}{3}$

$x = \frac{3}{3} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

Решение системы: $(\frac{1}{3}; \frac{1}{4})$.

Ответ: $(\frac{1}{3}; \frac{1}{4})$

4) Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} 2x - 3y = -1, \\ \frac{y}{x} = 0,75; \end{cases} $

Преобразуем второе уравнение. Заметим, что $0,75 = \frac{3}{4}$.

$\frac{y}{x} = \frac{3}{4}$

Отсюда выразим $y$ через $x$. (Заметим, что $x \neq 0$).

$y = \frac{3}{4}x$

Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение:

$2x - 3(\frac{3}{4}x) = -1$

$2x - \frac{9}{4}x = -1$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{8}{4}x - \frac{9}{4}x = -1$

$-\frac{1}{4}x = -1$

Умножим обе части на -4:

$x = 4$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x=4$ в выражение $y = \frac{3}{4}x$:

$y = \frac{3}{4} \cdot 4$

$y = 3$

Решение системы: $(4; 3)$.

Ответ: $(4; 3)$