Номер 14, страница 7 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

14. Найдите наибольшее целое решение неравенства:

1) $x+2 \ge 2,5x-1$;

2) $\frac{3x+2}{4} - \frac{x-3}{2} < 3$;

3) $\frac{x-2}{5} - \frac{2x+3}{3} > 1$;

4) $\frac{2x-8}{3} - \frac{3x-5}{2} \ge 4$.

1) Решим неравенство $x+2 \ge 2.5x - 1$.

Сгруппируем слагаемые, содержащие переменную $x$, в одной части неравенства, а постоянные члены — в другой:

$2+1 \ge 2.5x - x$

Упростим обе части:

$3 \ge 1.5x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на 1.5. Так как 1.5 — положительное число, знак неравенства не меняется.

$x \le \frac{3}{1.5}$

$x \le 2$

Решением являются все числа, меньшие или равные 2. Наибольшим целым решением является число 2.

Ответ: 2

2) Решим неравенство $\frac{3x+2}{4} - \frac{x-3}{2} < 3$.

Для того чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 2, то есть на 4:

$4 \cdot \left( \frac{3x+2}{4} - \frac{x-3}{2} \right) < 4 \cdot 3$

$\frac{4(3x+2)}{4} - \frac{4(x-3)}{2} < 12$

$(3x+2) - 2(x-3) < 12$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$3x+2 - 2x + 6 < 12$

$x + 8 < 12$

Перенесем 8 в правую часть неравенства:

$x < 12 - 8$

$x < 4$

Решением являются все числа, строго меньшие 4. Наибольшим целым решением является число 3.

Ответ: 3

3) Решим неравенство $\frac{x-2}{5} - \frac{2x+3}{3} > 1$.

Умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 5 и 3, то есть на 15:

$15 \cdot \left( \frac{x-2}{5} - \frac{2x+3}{3} \right) > 15 \cdot 1$

$\frac{15(x-2)}{5} - \frac{15(2x+3)}{3} > 15$

$3(x-2) - 5(2x+3) > 15$

Раскроем скобки:

$3x - 6 - 10x - 15 > 15$

Приведем подобные слагаемые:

$-7x - 21 > 15$

Перенесем -21 в правую часть:

$-7x > 15 + 21$

$-7x > 36$

Разделим обе части на -7. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < -\frac{36}{7}$

Преобразуем дробь: $-\frac{36}{7} = -5\frac{1}{7}$.

Получаем $x < -5\frac{1}{7}$.

Наибольшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству, это -6.

Ответ: -6

4) Решим неравенство $\frac{2x-8}{3} - \frac{3x-5}{2} \ge 4$.

Умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 2, то есть на 6:

$6 \cdot \left( \frac{2x-8}{3} - \frac{3x-5}{2} \right) \ge 6 \cdot 4$

$\frac{6(2x-8)}{3} - \frac{6(3x-5)}{2} \ge 24$

$2(2x-8) - 3(3x-5) \ge 24$

Раскроем скобки:

$4x - 16 - 9x + 15 \ge 24$

Приведем подобные слагаемые:

$-5x - 1 \ge 24$

Перенесем -1 в правую часть:

$-5x \ge 24 + 1$

$-5x \ge 25$

Разделим обе части на -5. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le \frac{25}{-5}$

$x \le -5$

Решением являются все числа, меньшие или равные -5. Наибольшим целым решением является число -5.

Ответ: -5