Номер 21, страница 8 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

21. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств с двумя переменными:

1) $\begin{cases} 5x - y \le 4 \\ 0.5x + y \le 0 \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2x - y < 3 \\ 2x + y < 6 \end{cases}$

3) $\begin{cases} 3x - 5y < -10 \\ x + y > 9 \end{cases}$

4) $\begin{cases} 4x + 3y + 12 \ge 0 \\ 3y - x - 6 \ge 0 \end{cases}$

1) Рассмотрим систему неравенств:

$\begin{cases} 5x - y \le 4 \\ 0,5x + y \le 0 \end{cases}$

Для построения множества решений преобразуем каждое неравенство, выразив y через x.

1. Первое неравенство: $5x - y \le 4$.

$-y \le -5x + 4$

$y \ge 5x - 4$

Границей этой области является прямая $y = 5x - 4$. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), линия будет сплошной. Множество решений этого неравенства — это все точки на этой прямой и полуплоскость, расположенная выше нее.

Для построения прямой найдем две точки: при $x=0, y=-4$ и при $x=1, y=1$.

2. Второе неравенство: $0,5x + y \le 0$.

$y \le -0,5x$

Границей этой области является прямая $y = -0,5x$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), линия будет сплошной. Множество решений — это все точки на этой прямой и полуплоскость, расположенная ниже нее.

Для построения прямой найдем две точки: при $x=0, y=0$ и при $x=2, y=-1$.

3. Множество решений системы — это пересечение двух указанных полуплоскостей. Чтобы найти вершину угла, образованного пересечением, решим систему уравнений:

$\begin{cases} y = 5x - 4 \\ y = -0,5x \end{cases}$

$5x - 4 = -0,5x$

$5,5x = 4$

$x = \frac{4}{5,5} = \frac{4}{11/2} = \frac{8}{11}$

$y = -0,5 \cdot \frac{8}{11} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{8}{11} = -\frac{4}{11}$

Вершина угла находится в точке $(\frac{8}{11}, -\frac{4}{11})$.

Ответ: Множество решений представляет собой угловую область, ограниченную лучами, выходящими из точки $(\frac{8}{11}, -\frac{4}{11})$ и лежащими на прямых $y = 5x - 4$ и $y = -0,5x$. Область расположена "справа" от вершины, между двумя лучами. Границы области включены в множество решений.

2) Рассмотрим систему неравенств:

$\begin{cases} 2x - y < 3 \\ 2x + y < 6 \end{cases}$

1. Первое неравенство: $2x - y < 3$.

$-y < -2x + 3$

$y > 2x - 3$

Границей является прямая $y = 2x - 3$. Неравенство строгое ($>$), поэтому линия будет пунктирной. Решением является полуплоскость выше этой прямой.

Точки для построения: $(0, -3)$ и $(1.5, 0)$.

2. Второе неравенство: $2x + y < 6$.

$y < -2x + 6$

Границей является прямая $y = -2x + 6$. Неравенство строгое ($<$), поэтому линия будет пунктирной. Решением является полуплоскость ниже этой прямой.

Точки для построения: $(0, 6)$ и $(3, 0)$.

3. Множество решений системы — это пересечение двух открытых полуплоскостей. Найдем точку пересечения граничных прямых:

$\begin{cases} y = 2x - 3 \\ y = -2x + 6 \end{cases}$

$2x - 3 = -2x + 6$

$4x = 9$

$x = \frac{9}{4} = 2,25$

$y = 2 \cdot \frac{9}{4} - 3 = \frac{9}{2} - 3 = 4,5 - 3 = 1,5$

Вершина угла находится в точке $(\frac{9}{4}, \frac{3}{2})$.

Ответ: Множество решений представляет собой открытую угловую область ("смотрящую" влево), ограниченную прямыми $y = 2x - 3$ и $y = -2x + 6$, с вершиной в точке $(\frac{9}{4}, \frac{3}{2})$. Границы области не включены в множество решений.

3) Рассмотрим систему неравенств:

$\begin{cases} 3x - 5y < -10 \\ x + y > 9 \end{cases}$

1. Первое неравенство: $3x - 5y < -10$.

$-5y < -3x - 10$

$5y > 3x + 10$

$y > \frac{3}{5}x + 2$

Границей является прямая $y = 0,6x + 2$. Неравенство строгое ($>$), линия пунктирная. Решением является полуплоскость выше этой прямой.

Точки для построения: $(0, 2)$ и $(5, 5)$.

2. Второе неравенство: $x + y > 9$.

$y > -x + 9$

Границей является прямая $y = -x + 9$. Неравенство строгое ($>$), линия пунктирная. Решением является полуплоскость выше этой прямой.

Точки для построения: $(0, 9)$ и $(9, 0)$.

3. Множество решений системы — это пересечение двух открытых полуплоскостей. Найдем точку пересечения граничных прямых:

$\begin{cases} y = 0,6x + 2 \\ y = -x + 9 \end{cases}$

$0,6x + 2 = -x + 9$

$1,6x = 7$

$x = \frac{7}{1,6} = \frac{70}{16} = \frac{35}{8} = 4,375$

$y = - \frac{35}{8} + 9 = \frac{-35+72}{8} = \frac{37}{8} = 4,625$

Точка пересечения прямых: $(\frac{35}{8}, \frac{37}{8})$.

Ответ: Множество решений — это открытая угловая область, расположенная одновременно выше прямой $y = 0,6x + 2$ и выше прямой $y = -x + 9$. Границы области не включены в множество решений.

4) Рассмотрим систему неравенств:

$\begin{cases} 4x + 3y + 12 \ge 0 \\ 3y - x - 6 \ge 0 \end{cases}$

1. Первое неравенство: $4x + 3y + 12 \ge 0$.

$3y \ge -4x - 12$

$y \ge -\frac{4}{3}x - 4$

Границей является прямая $y = -\frac{4}{3}x - 4$. Неравенство нестрогое ($\ge$), линия сплошная. Решением является полуплоскость на прямой и выше нее.

Точки для построения: $(0, -4)$ и $(-3, 0)$.

2. Второе неравенство: $3y - x - 6 \ge 0$.

$3y \ge x + 6$

$y \ge \frac{1}{3}x + 2$

Границей является прямая $y = \frac{1}{3}x + 2$. Неравенство нестрогое ($\ge$), линия сплошная. Решением является полуплоскость на прямой и выше нее.

Точки для построения: $(0, 2)$ и $(-6, 0)$.

3. Множество решений системы — это пересечение двух замкнутых полуплоскостей. Найдем точку пересечения граничных прямых:

$\begin{cases} y = -\frac{4}{3}x - 4 \\ y = \frac{1}{3}x + 2 \end{cases}$

$-\frac{4}{3}x - 4 = \frac{1}{3}x + 2$

$-6 = \frac{5}{3}x$

$x = -6 \cdot \frac{3}{5} = -\frac{18}{5} = -3,6$

$y = \frac{1}{3} \cdot (-\frac{18}{5}) + 2 = -\frac{6}{5} + 2 = -1,2 + 2 = 0,8$

Вершина угла находится в точке $(-\frac{18}{5}, \frac{4}{5})$.

Ответ: Множество решений — это замкнутая угловая область, расположенная одновременно на или выше прямой $y = -\frac{4}{3}x - 4$ и на или выше прямой $y = \frac{1}{3}x + 2$. Границы области включены в множество решений.