Номер 25, страница 9 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

25. Дана система уравнений:

Подберите такие значения а и с, чтобы система уравнений:

1) имела одно решение;

2) имела бесконечное множество решений;

3) не имела решений.

Рассмотрим данную систему уравнений: $ \begin{cases} x + y = 7 \\ ax + 2y = c \end{cases} $

Для анализа количества решений системы линейных уравнений можно использовать метод подстановки. Выразим переменную y из первого уравнения: $y = 7 - x$. Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$ax + 2(7 - x) = c$

$ax + 14 - 2x = c$

Сгруппируем слагаемые, содержащие переменную x:

$ax - 2x = c - 14$

$(a - 2)x = c - 14$

Теперь, в зависимости от значений параметров a и c, проанализируем количество решений этого линейного уравнения относительно x. Количество решений этого уравнения будет определять количество решений исходной системы.

1) имела одно решение

Система имеет одно единственное решение, если уравнение $(a - 2)x = c - 14$ имеет ровно одно решение для x. Это возможно тогда и только тогда, когда коэффициент при x не равен нулю.

$a - 2 \neq 0$

$a \neq 2$

При этом условии мы можем однозначно найти x по формуле $x = \frac{c-14}{a-2}$. После этого можно найти единственное значение y, подставив x в уравнение $y = 7 - x$. Значение параметра c при этом может быть любым действительным числом, так как оно влияет только на значение корня, но не на его существование.

Таким образом, чтобы система имела одно решение, необходимо и достаточно, чтобы $a \neq 2$. Параметр c может быть любым.

Ответ: $a \neq 2$, c — любое число.

2) имела бесконечное множество решений

Система имеет бесконечное множество решений, если уравнение $(a - 2)x = c - 14$ имеет бесконечное множество решений. Это происходит в том случае, когда уравнение представляет собой верное числовое равенство вида $0 \cdot x = 0$. Для этого необходимо, чтобы и коэффициент при x, и свободный член (правая часть) были равны нулю.

$ \begin{cases} a - 2 = 0 \\ c - 14 = 0 \end{cases} $

Решая эту систему, получаем:

$a = 2$

$c = 14$

Если $a=2$ и $c=14$, то второе уравнение исходной системы $2x+2y=14$ является следствием первого ($x+y=7$), так как его можно получить, умножив первое уравнение на 2. Геометрически это означает, что оба уравнения описывают одну и ту же прямую.

Ответ: $a = 2$, $c = 14$.

3) не имела решений

Система не имеет решений, если уравнение $(a - 2)x = c - 14$ не имеет решений. Это происходит в том случае, когда уравнение представляет собой неверное числовое равенство вида $0 \cdot x = k$, где $k \neq 0$. Для этого необходимо, чтобы коэффициент при x был равен нулю, а свободный член (правая часть) — не равен нулю.

$ \begin{cases} a - 2 = 0 \\ c - 14 \neq 0 \end{cases} $

Решая эти условия, получаем:

$a = 2$

$c \neq 14$

При $a=2$ и $c \neq 14$ уравнение принимает вид $0 \cdot x = c - 14$, где правая часть не равна нулю. Такое уравнение не имеет решений. Геометрически это означает, что прямые $x+y=7$ и $2x+2y=c$ (где $c \neq 14$) параллельны, но не совпадают, и, следовательно, не имеют общих точек.

Ответ: $a = 2$, $c \neq 14$.