Номер 26, страница 9 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

26. Для ремонта здания наняты несколько рабочих, которые могут выполнить работу за определенное число дней. Если рабочих будет на 3 человека меньше, то срок выполнения работы увеличится на 6 дней. Если же рабочих будет на 2 человека больше, то они выполнят работу на 2 дня раньше. Сколько рабочих было нанято и за сколько дней они могут выполнить работу?

Пусть $x$ – первоначальное количество рабочих, а $y$ – первоначальное количество дней, необходимое для выполнения работы.

Общий объем работы можно считать постоянной величиной, равной произведению количества рабочих на количество дней. Обозначим объем работы как $W$. Тогда $W = x \cdot y$.

Согласно первому условию, если рабочих будет на 3 человека меньше ($x-3$), то срок выполнения работы увеличится на 6 дней ($y+6$). Объем работы при этом не изменится. Составим первое уравнение:

$(x - 3)(y + 6) = x \cdot y$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$xy + 6x - 3y - 18 = xy$

Вычтем $xy$ из обеих частей и перенесем 18 в правую часть:

$6x - 3y = 18$

Разделим обе части уравнения на 3 для упрощения:

$2x - y = 6$

Согласно второму условию, если рабочих будет на 2 человека больше ($x+2$), то они выполнят работу на 2 дня раньше ($y-2$). Объем работы также останется прежним. Составим второе уравнение:

$(x + 2)(y - 2) = x \cdot y$

Раскроем скобки:

$xy - 2x + 2y - 4 = xy$

Вычтем $xy$ из обеих частей и перенесем 4 в правую часть:

$-2x + 2y = 4$

Разделим обе части уравнения на -2:

$x - y = -2$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} 2x - y = 6 \\ x - y = -2 \end{cases}$

Для решения системы вычтем второе уравнение из первого:

$(2x - y) - (x - y) = 6 - (-2)$

$2x - y - x + y = 6 + 2$

$x = 8$

Мы нашли первоначальное количество рабочих. Теперь найдем количество дней, подставив значение $x$ в любое из уравнений. Используем второе уравнение $x - y = -2$:

$8 - y = -2$

$y = 8 + 2$

$y = 10$

Таким образом, первоначально было нанято 8 рабочих, и они должны были выполнить работу за 10 дней.

Ответ: было нанято 8 рабочих, которые могут выполнить работу за 10 дней.