Номер 29, страница 9 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

29. Составьте систему неравенств, решением которой являются число- вые промежутки, составленные из координат точек, находящихся на сто- ронах треугольника ABC и внутри него (рис. 1), если координаты вершин таковы: $A(-3;-3)$, $B(0;3)$ и $C(3;-1)$.

Рис. 1.

Для того чтобы составить систему неравенств, описывающую треугольник $ABC$ и его внутреннюю область, необходимо выполнить следующие шаги: найти уравнения прямых, на которых лежат стороны треугольника, а затем определить знаки неравенств так, чтобы они соответствовали заштрихованной области.

Исходные данные: координаты вершин треугольника $A(-3; -3)$, $B(0; 3)$ и $C(3; -1)$.

1. Нахождение уравнения прямой AB

Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$.

Для точек $A(-3; -3)$ и $B(0; 3)$ получаем:

$\frac{x - (-3)}{0 - (-3)} = \frac{y - (-3)}{3 - (-3)}$

$\frac{x + 3}{3} = \frac{y + 3}{6}$

Умножим обе части на 6:

$2(x + 3) = y + 3$

$2x + 6 = y + 3$

Приведем к общему виду: $2x - y + 3 = 0$.

2. Нахождение уравнения прямой BC

Для точек $B(0; 3)$ и $C(3; -1)$ получаем:

$\frac{x - 0}{3 - 0} = \frac{y - 3}{-1 - 3}$

$\frac{x}{3} = \frac{y - 3}{-4}$

Используем правило пропорции:

$-4x = 3(y - 3)$

$-4x = 3y - 9$

Приведем к общему виду: $4x + 3y - 9 = 0$.

3. Нахождение уравнения прямой AC

Для точек $A(-3; -3)$ и $C(3; -1)$ получаем:

$\frac{x - (-3)}{3 - (-3)} = \frac{y - (-3)}{-1 - (-3)}$

$\frac{x + 3}{6} = \frac{y + 3}{2}$

Умножим обе части на 6:

$x + 3 = 3(y + 3)$

$x + 3 = 3y + 9$

Приведем к общему виду: $x - 3y - 6 = 0$.

4. Составление системы неравенств

Теперь нужно определить знаки неравенств. Для этого можно использовать тестовую точку, которая заведомо лежит внутри треугольника, например, начало координат $O(0; 0)$. Подставим ее координаты в левые части полученных уравнений.

• Для прямой AB ($2x - y + 3 = 0$):

Подставляем $(0; 0)$: $2(0) - 0 + 3 = 3$. Поскольку $3 > 0$ и точка $O(0; 0)$ находится в нужной нам области, неравенство будет $2x - y + 3 \ge 0$. Знак $\ge$ используется потому, что в решение входят и точки на самой стороне.

• Для прямой BC ($4x + 3y - 9 = 0$):

Подставляем $(0; 0)$: $4(0) + 3(0) - 9 = -9$. Поскольку $-9 < 0$ и точка $O(0; 0)$ находится в нужной нам области, неравенство будет $4x + 3y - 9 \le 0$.

• Для прямой AC ($x - 3y - 6 = 0$):

Подставляем $(0; 0)$: $0 - 3(0) - 6 = -6$. Поскольку $-6 < 0$ и точка $O(0; 0)$ находится в нужной нам области, неравенство будет $x - 3y - 6 \le 0$.

Объединяем полученные неравенства в систему.

Ответ: $ \begin{cases} 2x - y + 3 \ge 0 \\ 4x + 3y - 9 \le 0 \\ x - 3y - 6 \le 0 \end{cases} $