Номер 24, страница 9 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

24. Составьте несколько систем уравнений с двумя неизвестными, не имеющих решения.

Система уравнений с двумя неизвестными не имеет решения в том случае, когда уравнения в системе противоречат друг другу. С геометрической точки зрения это означает, что графики уравнений (которые являются прямыми линиями) параллельны и не совпадают. У параллельных прямых одинаковые угловые коэффициенты, но разные точки пересечения с осью ординат.

Для системы линейных уравнений общего вида:

$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $

условие отсутствия решений выражается через соотношение коэффициентов:

$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2} $

Это означает, что коэффициенты при соответствующих переменных пропорциональны, но свободные члены этой пропорциональности не удовлетворяют.

Ниже представлено несколько примеров таких систем.

Пример 1

Составим систему, в которой левые части уравнений полностью совпадают, а правые — различны. Это самый простой случай противоречия.

$ \begin{cases} x + 2y = 5 \\ x + 2y = 7 \end{cases} $

Очевидно, что выражение $x + 2y$ не может одновременно принимать значения 5 и 7. Проверим формальное условие: $ \frac{1}{1} = \frac{2}{2} \ne \frac{5}{7} $, или $1 = 1 \ne \frac{5}{7}$. Условие выполняется, система решений не имеет.

Ответ: $ \begin{cases} x + 2y = 5 \\ x + 2y = 7 \end{cases} $

Пример 2

Составим систему, в которой одно уравнение получается из другого умножением левой части на число, а правой части — на другое число.

$ \begin{cases} 3x - y = 4 \\ 6x - 2y = 1 \end{cases} $

Здесь левая часть второго уравнения в два раза больше левой части первого: $6x - 2y = 2(3x - y)$. Однако правая часть второго уравнения (1) не в два раза больше правой части первого (4). Если бы было $6x - 2y = 8$, система имела бы бесконечно много решений. Так как $6x - 2y$ должно быть равно 1 (согласно второму уравнению) и одновременно 8 (если исходить из первого), система несовместна. Проверка по формуле: $ \frac{3}{6} = \frac{-1}{-2} \ne \frac{4}{1} $, или $ \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \ne 4 $. Условие выполняется.

Ответ: $ \begin{cases} 3x - y = 4 \\ 6x - 2y = 1 \end{cases} $

Пример 3

Составим систему, где уравнения заданы через угловой коэффициент. Прямые будут параллельны, если их угловые коэффициенты ($k$) равны, а точки пересечения с осью OY ($b$) — различны ($y=kx+b$).

$ \begin{cases} y = -2x + 3 \\ y = -2x - 1 \end{cases} $

Оба уравнения описывают прямые с угловым коэффициентом $k=-2$, но первая пересекает ось ординат в точке $(0, 3)$, а вторая — в точке $(0, -1)$. Прямые параллельны и не совпадают, значит, точек пересечения у них нет. Если приравнять правые части, получим $-2x + 3 = -2x - 1$, что приводит к неверному равенству $3 = -1$.

Ответ: $ \begin{cases} y = -2x + 3 \\ y = -2x - 1 \end{cases} $