Номер 1.137, страница 39 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.137. Запишите формулу общего члена последовательностей из упражнения 1.128.

1) $ \frac{1}{3}, \frac{4}{9}, \frac{9}{27}, \dots $

2) $1, 0.1, 0.01, \dots$

3) $6, 12, 24, 48, \dots$

4) $1, -2, 4, -8, \dots$

1) Рассмотрим последовательность $a_n$, где первые члены равны $\frac{1}{3}, \frac{4}{9}, \frac{9}{27}, \dots$.

Обозначим номер члена последовательности как $n$, где $n=1, 2, 3, \dots$.

$a_1 = \frac{1}{3}$, $a_2 = \frac{4}{9}$, $a_3 = \frac{9}{27}$.

Проанализируем числители: 1, 4, 9. Это квадраты натуральных чисел: $1^2, 2^2, 3^2, \dots$. Значит, числитель $n$-го члена равен $n^2$.

Проанализируем знаменатели: 3, 9, 27. Это степени числа 3: $3^1, 3^2, 3^3, \dots$. Значит, знаменатель $n$-го члена равен $3^n$.

Таким образом, формула общего члена последовательности имеет вид: $a_n = \frac{n^2}{3^n}$.

Проверим: Для $n=1$: $a_1 = \frac{1^2}{3^1} = \frac{1}{3}$. Для $n=2$: $a_2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}$. Для $n=3$: $a_3 = \frac{3^2}{3^3} = \frac{9}{27}$. Все сходится.

Ответ: $a_n = \frac{n^2}{3^n}$

2) Рассмотрим последовательность $1, 0.1, 0.01, \dots$.

Это геометрическая прогрессия, так как каждый следующий член получается из предыдущего умножением на одно и то же число.

Первый член прогрессии $b_1 = 1$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый: $q = \frac{0.1}{1} = 0.1$.

Формула $n$-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставляя наши значения, получаем формулу общего члена: $a_n = 1 \cdot (0.1)^{n-1} = (0.1)^{n-1}$.

Эту формулу можно также записать как $a_n = 10^{1-n}$ или $a_n = \frac{1}{10^{n-1}}$.

Проверим: Для $n=1$: $a_1 = (0.1)^{1-1} = (0.1)^0 = 1$. Для $n=2$: $a_2 = (0.1)^{2-1} = 0.1$. Для $n=3$: $a_3 = (0.1)^{3-1} = (0.1)^2 = 0.01$.

Ответ: $a_n = (0.1)^{n-1}$

3) Рассмотрим последовательность $6, 12, 24, 48, \dots$.

Это геометрическая прогрессия. Первый член $b_1 = 6$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$: $q = \frac{12}{6} = 2$.

Формула $n$-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставляя наши значения, получаем: $a_n = 6 \cdot 2^{n-1}$.

Упростим выражение: $a_n = (3 \cdot 2) \cdot 2^{n-1} = 3 \cdot 2^1 \cdot 2^{n-1} = 3 \cdot 2^{1+n-1} = 3 \cdot 2^n$.

Проверим: Для $n=1$: $a_1 = 3 \cdot 2^1 = 6$. Для $n=2$: $a_2 = 3 \cdot 2^2 = 12$. Для $n=3$: $a_3 = 3 \cdot 2^3 = 24$. Для $n=4$: $a_4 = 3 \cdot 2^4 = 48$.

Ответ: $a_n = 3 \cdot 2^n$

4) Рассмотрим последовательность $1, -2, 4, -8, \dots$.

Это знакочередующаяся последовательность. Проверим, является ли она геометрической прогрессией. Первый член $b_1 = 1$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$: $q = \frac{-2}{1} = -2$.

Проверим для следующей пары: $\frac{4}{-2} = -2$. Да, это так.

Формула $n$-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставляя наши значения, получаем: $a_n = 1 \cdot (-2)^{n-1} = (-2)^{n-1}$.

Проверим: Для $n=1$: $a_1 = (-2)^{1-1} = (-2)^0 = 1$. Для $n=2$: $a_2 = (-2)^{2-1} = (-2)^1 = -2$. Для $n=3$: $a_3 = (-2)^{3-1} = (-2)^2 = 4$. Для $n=4$: $a_4 = (-2)^{4-1} = (-2)^3 = -8$.

Ответ: $a_n = (-2)^{n-1}$