Номер 1.130, страница 39 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.130. Запишите первые четыре члена последовательности:

1) $a_n = \frac{n}{3^n}$;

2) $a_n = n^2 \cdot 2^{-n}$;

3) $a_n = \left(-\frac{1}{3}\right)^n$;

4) $a_n = (-1)^{n-1}$.

1) Для того чтобы найти первые четыре члена последовательности, заданной формулой общего члена $a_n = \frac{n}{3^n}$, необходимо последовательно подставить в нее значения $n = 1, 2, 3$ и $4$.

При $n=1$, первый член равен: $a_1 = \frac{1}{3^1} = \frac{1}{3}$.

При $n=2$, второй член равен: $a_2 = \frac{2}{3^2} = \frac{2}{9}$.

При $n=3$, третий член равен: $a_3 = \frac{3}{3^3} = \frac{3}{27} = \frac{1}{9}$.

При $n=4$, четвертый член равен: $a_4 = \frac{4}{3^4} = \frac{4}{81}$.

Итак, первые четыре члена последовательности: $\frac{1}{3}, \frac{2}{9}, \frac{1}{9}, \frac{4}{81}$.

Ответ: $\frac{1}{3}, \frac{2}{9}, \frac{1}{9}, \frac{4}{81}$.

2) Найдем первые четыре члена последовательности, заданной формулой $a_n = n^2 \cdot 2^{-n}$. Эту формулу можно переписать в виде $a_n = \frac{n^2}{2^n}$. Подставим значения $n = 1, 2, 3, 4$.

При $n=1$: $a_1 = \frac{1^2}{2^1} = \frac{1}{2}$.

При $n=2$: $a_2 = \frac{2^2}{2^2} = \frac{4}{4} = 1$.

При $n=3$: $a_3 = \frac{3^2}{2^3} = \frac{9}{8}$.

При $n=4$: $a_4 = \frac{4^2}{2^4} = \frac{16}{16} = 1$.

Первые четыре члена данной последовательности: $\frac{1}{2}, 1, \frac{9}{8}, 1$.

Ответ: $\frac{1}{2}, 1, \frac{9}{8}, 1$.

3) Вычислим первые четыре члена для знакочередующейся последовательности, заданной формулой $a_n = \left(-\frac{1}{3}\right)^n$.

Для $n=1$: $a_1 = \left(-\frac{1}{3}\right)^1 = -\frac{1}{3}$.

Для $n=2$: $a_2 = \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$.

Для $n=3$: $a_3 = \left(-\frac{1}{3}\right)^3 = -\frac{1}{27}$.

Для $n=4$: $a_4 = \left(-\frac{1}{3}\right)^4 = \frac{1}{81}$.

Таким образом, получаем последовательность: $-\frac{1}{3}, \frac{1}{9}, -\frac{1}{27}, \frac{1}{81}$.

Ответ: $-\frac{1}{3}, \frac{1}{9}, -\frac{1}{27}, \frac{1}{81}$.

4) Рассчитаем первые четыре члена последовательности, заданной формулой $a_n = (-1)^{n-1}$.

При $n=1$: $a_1 = (-1)^{1-1} = (-1)^0 = 1$.

При $n=2$: $a_2 = (-1)^{2-1} = (-1)^1 = -1$.

При $n=3$: $a_3 = (-1)^{3-1} = (-1)^2 = 1$.

При $n=4$: $a_4 = (-1)^{4-1} = (-1)^3 = -1$.

Первые четыре члена этой последовательности представляют собой чередование единиц: $1, -1, 1, -1$.

Ответ: $1, -1, 1, -1$.