Номер 1.128, страница 38 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.128. Запишите следующие два члена последовательности:

1) $\frac{1}{3}$, $\frac{4}{9}$, $\frac{9}{27}$, ...;

2) $\text{1}$, $0.1$, $0.01$, ...;

3) $\text{6}$, $\text{12}$, $\text{24}$, $\text{48}$, ...;

4) $\text{1}$, $-2$, $\text{4}$, $-8$, ....

1) Для последовательности $ \frac{1}{3}, \frac{4}{9}, \frac{9}{27}, \dots $ рассмотрим отдельно последовательности числителей и знаменателей.

Последовательность числителей: $1, 4, 9, \dots$. Это последовательность квадратов натуральных чисел: $1^2, 2^2, 3^2, \dots$. Следующие два члена этой последовательности будут $4^2=16$ и $5^2=25$.

Последовательность знаменателей: $3, 9, 27, \dots$. Это последовательность степеней числа 3: $3^1, 3^2, 3^3, \dots$. Следующие два члена этой последовательности будут $3^4=81$ и $3^5=243$.

Таким образом, n-й член последовательности можно описать формулой $a_n = \frac{n^2}{3^n}$.

Четвертый член последовательности: $a_4 = \frac{4^2}{3^4} = \frac{16}{81}$.

Пятый член последовательности: $a_5 = \frac{5^2}{3^5} = \frac{25}{243}$.

Ответ: $\frac{16}{81}, \frac{25}{243}$.

2) Последовательность $1, 0.1, 0.01, \dots$ является геометрической прогрессией.

Первый член прогрессии $b_1 = 1$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый: $q = \frac{0.1}{1} = 0.1$.

Каждый следующий член получается умножением предыдущего на $0.1$.

Четвертый член последовательности: $b_4 = 0.01 \cdot 0.1 = 0.001$.

Пятый член последовательности: $b_5 = 0.001 \cdot 0.1 = 0.0001$.

Ответ: $0.001, 0.0001$.

3) Последовательность $6, 12, 24, 48, \dots$ является геометрической прогрессией.

Первый член прогрессии $b_1 = 6$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый: $q = \frac{12}{6} = 2$.

Каждый следующий член получается умножением предыдущего на $2$.

Пятый член последовательности: $b_5 = 48 \cdot 2 = 96$.

Шестой член последовательности: $b_6 = 96 \cdot 2 = 192$.

Ответ: $96, 192$.

4) Последовательность $1, -2, 4, -8, \dots$ является геометрической прогрессией со знакочередованием.

Первый член прогрессии $b_1 = 1$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый: $q = \frac{-2}{1} = -2$.

Каждый следующий член получается умножением предыдущего на $-2$.

Пятый член последовательности: $b_5 = (-8) \cdot (-2) = 16$.

Шестой член последовательности: $b_6 = 16 \cdot (-2) = -32$.

Ответ: $16, -32$.