Номер 1.122, страница 38 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.122. Сравните числа:

1) $3,4 \cdot 10^{11}$ и $7,5 \cdot 10^{9}$;

2) $3,4 \cdot 10^{-11}$ и $7,5 \cdot 10^{-9}$;

3) $7,27 \cdot 10^{-5}$ и $5,1 \cdot 10^{-4}$;

4) $9,2 \cdot 10^{-7}$ и $3,2 \cdot 10^{4}$.

Чтобы сравнить числа, записанные в стандартном виде (в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$), нужно сначала сравнить их порядки, то есть показатели степени $n$. Большим будет то число, у которого показатель степени больше. Если же показатели степени равны, то большим будет то число, у которого больше множитель $a$. Если же множитель $a$ не находится в пределах от 1 до 10, удобнее привести числа к одинаковому показателю степени и затем сравнить их множители.

1) Сравним числа $3,4 \cdot 10^{11}$ и $7,5 \cdot 10^9$. Чтобы их сравнить, приведем оба числа к одному и тому же показателю степени 10. Удобно привести число с большим показателем к меньшему, то есть $10^{11}$ к $10^9$.

Представим $3,4 \cdot 10^{11}$ в виде числа со степенью $10^9$:

$3,4 \cdot 10^{11} = 3,4 \cdot 10^{2+9} = 3,4 \cdot 10^2 \cdot 10^9 = 340 \cdot 10^9$.

Теперь сравним полученное число $340 \cdot 10^9$ с числом $7,5 \cdot 10^9$. Поскольку степени $10^9$ у них одинаковы, мы сравниваем множители перед ними: $340$ и $7,5$.

Так как $340 > 7,5$, то и $340 \cdot 10^9 > 7,5 \cdot 10^9$. Следовательно, $3,4 \cdot 10^{11} > 7,5 \cdot 10^9$.

Ответ: $3,4 \cdot 10^{11} > 7,5 \cdot 10^9$.

2) Сравним числа $3,4 \cdot 10^{-11}$ и $7,5 \cdot 10^{-9}$. Сравним показатели степеней: $-11$ и $-9$. Так как $-9 > -11$, число с большим показателем будет больше. Для наглядности приведем оба числа к одному показателю, например, к $10^{-9}$.

Представим $3,4 \cdot 10^{-11}$ в виде числа со степенью $10^{-9}$:

$3,4 \cdot 10^{-11} = 3,4 \cdot 10^{-2-9} = 3,4 \cdot 10^{-2} \cdot 10^{-9} = 0,034 \cdot 10^{-9}$.

Теперь сравним $0,034 \cdot 10^{-9}$ и $7,5 \cdot 10^{-9}$. Сравниваем множители: $0,034$ и $7,5$.

Так как $0,034 < 7,5$, то и $0,034 \cdot 10^{-9} < 7,5 \cdot 10^{-9}$. Следовательно, $3,4 \cdot 10^{-11} < 7,5 \cdot 10^{-9}$.

Ответ: $3,4 \cdot 10^{-11} < 7,5 \cdot 10^{-9}$.

3) Сравним числа $7,27 \cdot 10^{-5}$ и $5,1 \cdot 10^{-4}$. Сравним показатели степеней: $-5$ и $-4$. Так как $-4 > -5$, число с большим показателем будет больше. Приведем оба числа к одному показателю, например, к $10^{-4}$.

Представим $7,27 \cdot 10^{-5}$ в виде числа со степенью $10^{-4}$:

$7,27 \cdot 10^{-5} = 7,27 \cdot 10^{-1-4} = 7,27 \cdot 10^{-1} \cdot 10^{-4} = 0,727 \cdot 10^{-4}$.

Теперь сравним $0,727 \cdot 10^{-4}$ и $5,1 \cdot 10^{-4}$. Сравниваем множители: $0,727$ и $5,1$.

Так как $0,727 < 5,1$, то и $0,727 \cdot 10^{-4} < 5,1 \cdot 10^{-4}$. Следовательно, $7,27 \cdot 10^{-5} < 5,1 \cdot 10^{-4}$.

Ответ: $7,27 \cdot 10^{-5} < 5,1 \cdot 10^{-4}$.

4) Сравним числа $9,2 \cdot 10^{-7}$ и $3,2 \cdot 10^4$. В этом случае показатели степеней имеют разные знаки: $-7$ и $4$. Любое положительное число (показатель 4) всегда больше любого отрицательного (показатель -7). Таким образом, $4 > -7$.

Поскольку оба числа положительны, то число с большим показателем степени будет значительно больше. $9,2 \cdot 10^{-7}$ — это очень маленькое положительное число, близкое к нулю ($0,00000092$). $3,2 \cdot 10^4$ — это большое положительное число ($32000$).

Очевидно, что $32000 > 0,00000092$. Следовательно, $3,2 \cdot 10^4 > 9,2 \cdot 10^{-7}$.

Ответ: $9,2 \cdot 10^{-7} < 3,2 \cdot 10^4$.