Вопросы, страница 36 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Как вы понимаете понятие последовательности чисел? Приведите пример.

2. Как могут располагаться показатели степеней в последовательностях из степеней? Приведите примеры всех возможных случаев.

3. Как записывается стандартный вид числа? Приведите пример.

4. Что вы понимаете под значащей частью числа, записанного в стандартном виде? Какому условию она должна удовлетворять?

5. Может ли значащая часть числа быть меньше 1 или больше 10?

6. Что такое порядок числа, записанного в стандартном виде? Какой может быть знак у порядка очень большого числа или очень малого числа? Приведите пример.

Легенда о шахматах. Шахматы, согласно легенде, придумал древнеиндийский изобретатель Сета. Шаху игра очень понравилась, и он решил наградить Сету. Изобретатель попросил положить на первую клетку шахматной доски 1 зерно, на вторую – 2 зерна, на третью – 4 зерна и т.д., удваивая количество зерен на каждой следующей клетке. Шах сначала был удивлен скромной просьбой, но вскоре понял, что выполнить ее невозможно. Действительно, для 64 клеток шахматной доски потребовалось бы огромное количество зерна ($ (1, 2, 2^2, 2^3, \dots, 2^{63} \text{ зерен}) $). Если сложить эти числа на компьютере, то получилось бы, что Сета запросил 18 446 744 073 709 551 615 зерен.

1) Запишите количество зерен, которое запросил Сета, в стандартном виде. Округлите это число до двух значащих цифр.

2) Найдите значения первых 8 слагаемых в сумме $ 2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{63} $ и запишите результаты в порядке возрастания.

3) Считается, что в 1 пуде около 4000 ($ 4 \cdot 10^3 $) зерен, а в самые урожайные годы в Казахстане намолачивают 1 000 000 000 ($ 1 \cdot 10^9 $) пудов зерна. Полагая, что ежегодно намолачивается $ 10^9 $ пудов зерна, определите, за сколько лет Казахстан сможет собрать необходимое количество зерна для Сеты.

1) Чтобы записать число в стандартном виде, необходимо представить его в виде произведения $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число, называемое порядком числа.

Исходное число зерен: $18\;446\;744\;073\;709\;551\;615$.

Это 20-значное число. Чтобы получить значащую часть $a$, которая удовлетворяет условию $1 \le a < 10$, нужно поставить запятую после первой цифры '1'. Для этого мысленно переносим запятую на 19 знаков влево.

Таким образом, число в стандартном виде будет: $1,8446744073709551615 \cdot 10^{19}$.

Теперь округлим это число до двух значащих цифр. Первые две значащие цифры — это 1 и 8. Следующая цифра — 4. Так как $4 < 5$, то при округлении предыдущую цифру не изменяем.

Округленная значащая часть равна $1,8$.

Ответ: В стандартном виде с округлением до двух значащих цифр количество зерен равно $1,8 \cdot 10^{19}$.

2) Нужно найти значения первых 8 слагаемых в сумме, которая начинается с $2^0$. Этими слагаемыми будут $2^0, 2^1, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5, 2^6, 2^7$.

Вычислим их значения:

$2^0 = 1$

$2^1 = 2$

$2^2 = 4$

$2^3 = 8$

$2^4 = 16$

$2^5 = 32$

$2^6 = 64$

$2^7 = 128$

Эти значения уже расположены в порядке возрастания.

Ответ: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128.

3) Сначала определим, сколько зерен намолачивается в Казахстане за один год.

Годовой сбор составляет $10^{10}$ пудов зерна.

В одном пуде содержится $4000$ ($4 \cdot 10^3$) зерен.

Следовательно, за год намолачивается:

$10^{10} \text{ пудов} \cdot (4 \cdot 10^3 \text{ зерен/пуд}) = 4 \cdot 10^{13}$ зерен в год.

Теперь определим, сколько лет потребуется, чтобы собрать необходимое количество зерен. Для этого нужно общее количество зерен, которое запросил Сета, разделить на количество зерен, собираемое за год.

Всего зерен: $18\;446\;744\;073\;709\;551\;615$.

Количество лет = (Всего зерен) / (Зерен в год).

Количество лет = $\frac{18\;446\;744\;073\;709\;551\;615}{4 \cdot 10^{13}} = \frac{18\;446\;744\;073\;709\;551\;615}{40\;000\;000\;000\;000}$.

Выполним деление:

$\frac{18\;446\;744\;073\;709\;551\;615}{40\;000\;000\;000\;000} \approx 461\;168,6$ лет.

Округляя до целого числа в большую сторону, получаем 461 169 лет.

Ответ: Казахстану потребуется примерно 461 169 лет, чтобы собрать необходимое количество зерна.