Номер 1.111, страница 33 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.111. Докажите равенство, где $n \in \mathbb{Z}$:

1) $3 \cdot 2^n + 2^n = 2^{n+2}$

2) $2 \cdot 3^n + 3^n = 3^{n+1}$

3) $2^{1-n} - 2^{-n} = 2^{-n}$

4) $2^{-n} + 2^{-n+1} = 3 \cdot 2^{-n}$

1) Для доказательства равенства $3 \cdot 2^n + 2^n = 2^{n+2}$ преобразуем его левую часть. Вынесем общий множитель $2^n$ за скобки: $3 \cdot 2^n + 2^n = 2^n \cdot (3 + 1) = 2^n \cdot 4$. Поскольку $4 = 2^2$, то выражение принимает вид $2^n \cdot 2^2$. Используя свойство степеней $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$, получаем $2^{n+2}$. Таким образом, левая часть равна правой. Равенство доказано.

Ответ: $3 \cdot 2^n + 2^n = 2^n(3+1) = 4 \cdot 2^n = 2^2 \cdot 2^n = 2^{n+2}$.

2) Для доказательства равенства $2 \cdot 3^n + 3^n = 3^{n+1}$ преобразуем его левую часть. Вынесем общий множитель $3^n$ за скобки: $2 \cdot 3^n + 3^n = 3^n \cdot (2 + 1) = 3^n \cdot 3$. Поскольку $3 = 3^1$, то по свойству степеней $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$ получаем $3^n \cdot 3^1 = 3^{n+1}$. Левая часть равна правой. Равенство доказано.

Ответ: $2 \cdot 3^n + 3^n = 3^n(2+1) = 3 \cdot 3^n = 3^{1} \cdot 3^n = 3^{n+1}$.

3) Для доказательства равенства $2^{1-n} - 2^{-n} = 2^{-n}$ преобразуем левую часть. Используя свойство степени $a^{m-k} = a^m \cdot a^{-k}$, представим $2^{1-n}$ как $2^1 \cdot 2^{-n} = 2 \cdot 2^{-n}$. Тогда левая часть равенства будет выглядеть так: $2 \cdot 2^{-n} - 2^{-n}$. Вынесем общий множитель $2^{-n}$ за скобки: $2^{-n} \cdot (2 - 1) = 2^{-n} \cdot 1 = 2^{-n}$. Левая часть равна правой. Равенство доказано.

Ответ: $2^{1-n} - 2^{-n} = 2^1 \cdot 2^{-n} - 2^{-n} = 2^{-n}(2-1) = 2^{-n}$.

4) Для доказательства равенства $2^{-n} + 2^{-n+1} = 3 \cdot 2^{-n}$ преобразуем левую часть. Используя свойство степени $a^{m+k} = a^m \cdot a^k$, представим $2^{-n+1}$ как $2^{-n} \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^{-n}$. Тогда левая часть примет вид: $2^{-n} + 2 \cdot 2^{-n}$. Вынесем общий множитель $2^{-n}$ за скобки: $2^{-n} \cdot (1 + 2) = 2^{-n} \cdot 3 = 3 \cdot 2^{-n}$. Левая часть равна правой. Равенство доказано.

Ответ: $2^{-n} + 2^{-n+1} = 2^{-n} + 2^{-n} \cdot 2^1 = 2^{-n}(1+2) = 3 \cdot 2^{-n}$.