Номер 1.112, страница 34 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.112. Упростите выражение:

1) $ \frac{(3^n + 3^{n-1})^2}{9^{n-1}} $;

2) $ \frac{(5^n - 5^{n-1})^3}{125^{n-1}} $;

3) $ \frac{4^{n-2}}{(2^{n-1} - 2^{n-2})^2} $.

1) $\frac{(3^n + 3^{n-1})^2}{9^{n-1}}$

Для упрощения данного выражения необходимо привести все степени к одному основанию, в данном случае к основанию 3.

Сначала преобразуем числитель. Вынесем в скобках общий множитель $3^{n-1}$:

$3^n + 3^{n-1} = 3^{n-1} \cdot 3^1 + 3^{n-1} \cdot 1 = 3^{n-1}(3+1) = 4 \cdot 3^{n-1}$

Теперь возведем полученное выражение в квадрат:

$(4 \cdot 3^{n-1})^2 = 4^2 \cdot (3^{n-1})^2 = 16 \cdot 3^{2(n-1)} = 16 \cdot 3^{2n-2}$

Далее преобразуем знаменатель. Представим число 9 как $3^2$:

$9^{n-1} = (3^2)^{n-1} = 3^{2(n-1)} = 3^{2n-2}$

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в дробь:

$\frac{16 \cdot 3^{2n-2}}{3^{2n-2}}$

Сократим одинаковые множители $3^{2n-2}$ в числителе и знаменателе:

$\frac{16 \cdot 3^{2n-2}}{3^{2n-2}} = 16$

Ответ: 16

2) $\frac{(5^n - 5^{n-1})^3}{125^{n-1}}$

Для упрощения приведем все степени к основанию 5.

Преобразуем числитель. В выражении $(5^n - 5^{n-1})$ вынесем за скобки общий множитель $5^{n-1}$:

$5^n - 5^{n-1} = 5^{n-1} \cdot 5^1 - 5^{n-1} \cdot 1 = 5^{n-1}(5-1) = 4 \cdot 5^{n-1}$

Возведем полученное выражение в куб:

$(4 \cdot 5^{n-1})^3 = 4^3 \cdot (5^{n-1})^3 = 64 \cdot 5^{3(n-1)} = 64 \cdot 5^{3n-3}$

Теперь преобразуем знаменатель. Представим число 125 как $5^3$:

$125^{n-1} = (5^3)^{n-1} = 5^{3(n-1)} = 5^{3n-3}$

Подставим упрощенные выражения в исходную дробь:

$\frac{64 \cdot 5^{3n-3}}{5^{3n-3}}$

Сократим дробь на общий множитель $5^{3n-3}$:

$\frac{64 \cdot 5^{3n-3}}{5^{3n-3}} = 64$

Ответ: 64

3) $\frac{4^{n-2}}{(2^{n-1} - 2^{n-2})^2}$

Для упрощения этого выражения приведем все степени к основанию 2.

Преобразуем числитель, представив 4 как $2^2$:

$4^{n-2} = (2^2)^{n-2} = 2^{2(n-2)} = 2^{2n-4}$

Теперь преобразуем знаменатель. Сначала упростим выражение в скобках, вынеся общий множитель $2^{n-2}$:

$2^{n-1} - 2^{n-2} = 2^{n-2} \cdot 2^1 - 2^{n-2} \cdot 1 = 2^{n-2}(2-1) = 2^{n-2} \cdot 1 = 2^{n-2}$

Возведем полученное выражение в квадрат:

$(2^{n-2})^2 = 2^{2(n-2)} = 2^{2n-4}$

Подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходную дробь:

$\frac{2^{2n-4}}{2^{2n-4}}$

Так как числитель и знаменатель равны, их частное равно 1.

Ответ: 1