Номер 1.110, страница 33 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.110. Упростите выражение:

1) $\frac{\left(\frac{1}{25}\right)^{-n}}{5^{2n-1}};$

2) $\frac{12^n}{2^{2n-1} \cdot 3^{n+1}};$

3) $\frac{45^{n+1}}{3^{2n+1} \cdot 5^n};$

4) $\frac{60^n}{2^{2n} \cdot 3^{n-1} \cdot 5^{n+1}}.$

1) Исходное выражение: $\frac{(\frac{1}{25})^{-n}}{5^{2n-1}}$.

Преобразуем числитель. Так как $25 = 5^2$, то $\frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} = 5^{-2}$.

Используя свойство степени $(a^m)^k = a^{mk}$, получаем:

$(\frac{1}{25})^{-n} = (5^{-2})^{-n} = 5^{(-2) \cdot (-n)} = 5^{2n}$.

Теперь подставим это обратно в дробь:

$\frac{5^{2n}}{5^{2n-1}}$.

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$):

$5^{2n - (2n-1)} = 5^{2n - 2n + 1} = 5^1 = 5$.

Ответ: $5$.

2) Исходное выражение: $\frac{12^n}{2^{2n-1} \cdot 3^{n+1}}$.

Разложим числитель на простые множители: $12 = 2^2 \cdot 3$.

Тогда $12^n = (2^2 \cdot 3)^n = (2^2)^n \cdot 3^n = 2^{2n} \cdot 3^n$.

Подставим это в исходное выражение:

$\frac{2^{2n} \cdot 3^n}{2^{2n-1} \cdot 3^{n+1}}$.

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:

$\frac{2^{2n}}{2^{2n-1}} \cdot \frac{3^n}{3^{n+1}}$.

Применим правило деления степеней $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$:

$2^{2n - (2n-1)} \cdot 3^{n - (n+1)} = 2^{2n-2n+1} \cdot 3^{n-n-1} = 2^1 \cdot 3^{-1} = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

3) Исходное выражение: $\frac{45^{n+1}}{3^{2n+1} \cdot 5^n}$.

Разложим основание степени в числителе на простые множители: $45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$.

Тогда числитель можно записать как:

$45^{n+1} = (3^2 \cdot 5)^{n+1} = (3^2)^{n+1} \cdot 5^{n+1} = 3^{2(n+1)} \cdot 5^{n+1} = 3^{2n+2} \cdot 5^{n+1}$.

Подставим это в дробь:

$\frac{3^{2n+2} \cdot 5^{n+1}}{3^{2n+1} \cdot 5^n}$.

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим правило деления $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$:

$\frac{3^{2n+2}}{3^{2n+1}} \cdot \frac{5^{n+1}}{5^n} = 3^{(2n+2) - (2n+1)} \cdot 5^{(n+1) - n} = 3^{2n+2-2n-1} \cdot 5^{n+1-n} = 3^1 \cdot 5^1 = 15$.

Ответ: $15$.

4) Исходное выражение: $\frac{60^n}{2^{2n} \cdot 3^{n-1} \cdot 5^{n+1}}$.

Разложим числитель на простые множители: $60 = 4 \cdot 15 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$.

Тогда $60^n = (2^2 \cdot 3 \cdot 5)^n = (2^2)^n \cdot 3^n \cdot 5^n = 2^{2n} \cdot 3^n \cdot 5^n$.

Подставим это в исходное выражение:

$\frac{2^{2n} \cdot 3^n \cdot 5^n}{2^{2n} \cdot 3^{n-1} \cdot 5^{n+1}}$.

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:

$\frac{2^{2n}}{2^{2n}} \cdot \frac{3^n}{3^{n-1}} \cdot \frac{5^n}{5^{n+1}}$.

Применим правило деления степеней $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$:

$2^{2n - 2n} \cdot 3^{n - (n-1)} \cdot 5^{n - (n+1)} = 2^0 \cdot 3^{n-n+1} \cdot 5^{n-n-1} = 1 \cdot 3^1 \cdot 5^{-1} = 3 \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$.