Номер 1.105, страница 33 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.105. При каком целом значении $\text{n}$ верно равенство для любого $x \neq 0$:

1) $x^n \cdot x^6 = x^4$;

2) $x^3 : x^n = x^{-2}$;

3) $(x^{-3})^n \cdot x^8 = x^6$;

4) $(x^{-n})^{-4} = x^{-4}$?

1) Для решения уравнения $x^n \cdot x^6 = x^4$ используется свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Левая часть уравнения преобразуется в $x^{n+6}$. Таким образом, мы получаем равенство $x^{n+6} = x^4$. Поскольку основания степеней равны и равенство должно быть верным для любого $x \neq 0$, показатели степеней также должны быть равны: $n+6 = 4$. Решая это линейное уравнение, находим $n$: $n = 4 - 6 = -2$.

Ответ: $n=-2$.

2) Для решения уравнения $x^3 : x^n = x^{-2}$ используется свойство деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$. Левая часть уравнения преобразуется в $x^{3-n}$. Таким образом, мы получаем равенство $x^{3-n} = x^{-2}$. Приравнивая показатели степеней, получаем уравнение: $3-n = -2$. Решая его относительно $n$, находим: $-n = -2 - 3$, что равносильно $-n = -5$, и, следовательно, $n=5$.

Ответ: $n=5$.

3) Для решения уравнения $(x^{-3})^n \cdot x^8 = x^6$ используются два свойства степеней: возведение степени в степень $((a^m)^n = a^{mn})$ и умножение степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$). Преобразуем левую часть уравнения: $(x^{-3})^n \cdot x^8 = x^{-3n} \cdot x^8 = x^{-3n+8}$. Теперь уравнение имеет вид $x^{-3n+8} = x^6$. Приравнивая показатели степеней, получаем: $-3n+8 = 6$. Решаем это уравнение: $-3n = 6 - 8$, откуда $-3n = -2$, и $n = \frac{2}{3}$. В условии задачи требуется найти целое значение $n$. Так как $\frac{2}{3}$ не является целым числом, то такого целого значения $n$, удовлетворяющего равенству, не существует.

Ответ: такого целого значения $n$ не существует.

4) Для решения уравнения $(x^{-n})^{-4} = x^{-4}$ используется свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{mn}$. Преобразуем левую часть уравнения: $(x^{-n})^{-4} = x^{(-n) \cdot (-4)} = x^{4n}$. Таким образом, мы получаем равенство $x^{4n} = x^{-4}$. Приравнивая показатели степеней, получаем уравнение: $4n = -4$. Решая его, находим $n$: $n = \frac{-4}{4} = -1$.

Ответ: $n=-1$.