Номер 1.101, страница 32 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.101. Докажите равенство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^{n}$, где $a \neq 0, b \neq 0$.

Для доказательства равенства необходимо преобразовать его левую часть, используя известные свойства степеней, и показать, что она равна правой части. Условия $a \neq 0$ и $b \neq 0$ гарантируют, что все дроби определены.

Начнем с левой части равенства: $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}$.

Согласно определению степени с отрицательным показателем, любое число (кроме нуля) в отрицательной степени равно обратному числу в той же положительной степени. Математически это записывается как $x^{-k} = \frac{1}{x^k}$. Применим это свойство:

$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \frac{1}{\left(\frac{a}{b}\right)^n}$

Далее воспользуемся свойством возведения дроби в степень, которое гласит, что для возведения дроби в степень нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель: $\left(\frac{x}{y}\right)^k = \frac{x^k}{y^k}$.

$\frac{1}{\left(\frac{a}{b}\right)^n} = \frac{1}{\frac{a^n}{b^n}}$

Мы получили выражение, в котором единица делится на дробь. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь. Обратной для $\frac{a^n}{b^n}$ является дробь $\frac{b^n}{a^n}$.

$\frac{1}{\frac{a^n}{b^n}} = 1 \cdot \frac{b^n}{a^n} = \frac{b^n}{a^n}$

Наконец, применим свойство возведения дроби в степень в обратном порядке. Если числитель и знаменатель дроби имеют одинаковый показатель степени, то можно вынести его за скобки:

$\frac{b^n}{a^n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$

Таким образом, мы выполнили цепочку преобразований: $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \frac{1}{\left(\frac{a}{b}\right)^n} = \frac{1}{\frac{a^n}{b^n}} = \frac{b^n}{a^n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$.

Это доказывает, что левая часть исходного равенства тождественно равна правой части.

Ответ: Равенство $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$ доказано с помощью последовательного применения свойств степеней.