Номер 1.96, страница 32 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.96. Вычислите:

1) $7^3 \cdot 7^{-2}$;

2) $2 : 2^{-2}$;

3) $(3^{-1})^2$;

4) $(5^{-2})^{-1}$;

5) $8^{-2} \cdot 4^3$;

6) $10^0 : 10^{-3}$;

7) $10^8 \cdot 10^{-5} \cdot 10^{-4}$;

8) $3^{-6} \cdot (3^{-2})^{-4}$.

1) При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются. Используем правило $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$7^3 \cdot 7^{-2} = 7^{3+(-2)} = 7^{3-2} = 7^1 = 7$.

Ответ: 7

2) При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя. Используем правило $a^m : a^n = a^{m-n}$. Представим число 2 как $2^1$.

$2 : 2^{-2} = 2^1 : 2^{-2} = 2^{1 - (-2)} = 2^{1+2} = 2^3 = 8$.

Ответ: 8

3) При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются. Используем правило $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(3^{-1})^{-2} = 3^{(-1) \cdot (-2)} = 3^2 = 9$.

Ответ: 9

4) Аналогично предыдущему примеру, используем правило возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(5^{-2})^{-1} = 5^{(-2) \cdot (-1)} = 5^2 = 25$.

Ответ: 25

5) Чтобы выполнить умножение, приведем степени к одному основанию. Заметим, что $8 = 2^3$ и $4 = 2^2$.

$8^{-2} \cdot 4^3 = (2^3)^{-2} \cdot (2^2)^3$.

По правилу возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ получаем:

$(2^3)^{-2} = 2^{3 \cdot (-2)} = 2^{-6}$

$(2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6$

Теперь умножим степени с одинаковым основанием: $2^{-6} \cdot 2^6$.

По правилу $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$2^{-6} \cdot 2^6 = 2^{-6+6} = 2^0 = 1$.

Ответ: 1

6) При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$10^0 : 10^{-3} = 10^{0 - (-3)} = 10^{0+3} = 10^3 = 1000$.

Ответ: 1000

7) При перемножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n \cdot a^p = a^{m+n+p}$.

$10^8 \cdot 10^{-5} \cdot 10^{-4} = 10^{8 + (-5) + (-4)} = 10^{8-5-4} = 10^{8-9} = 10^{-1}$.

По определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$10^{-1} = \frac{1}{10} = 0.1$.

Ответ: 0.1

8) Сначала упростим второй множитель, используя правило возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(3^{-2})^{-4} = 3^{(-2) \cdot (-4)} = 3^8$.

Теперь выражение имеет вид: $3^{-6} \cdot 3^8$.

Далее используем правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$3^{-6} \cdot 3^8 = 3^{-6+8} = 3^2 = 9$.

Ответ: 9